數學與藝術的交匯：基於三角多面體的可伸縮負泊松比拉脹（Auxetics）結構

Bridges 會議是一個獨特的年度盛會，匯集了數學、藝術、音樂、教育、文化等不同領域的學者和藝術家，共同探索數學與藝術之間的深刻聯繫。在 2023 年的 Bridges 會議藝術展覽上，一件名為“Extendable auxetic structure based on deltahedron made by stringing bugle beads”（基於三角多面體的弦式伸縮負泊松比結構）的作品引起了廣泛關注。

背景知識：負泊松比結構與三角多面體

在深入了解這件藝術品之前，我們需要簡要介紹兩個相關的概念：負泊松比結構（Auxetic Structure） 和 三角多面體（Deltahedron）。

• 負泊松比結構： 大多數材料在受到拉伸時，其垂直於拉伸方向的尺寸會縮小；反之，受到壓縮時則會膨脹。然而，負泊松比材料（也稱為膨脹材料）卻表現出相反的特性——當它們被拉伸時，垂直方向也會膨脹；當被壓縮時，垂直方向則會收縮。這種獨特的性質使得負泊松比結構在工程和材料科學領域具有廣闊的應用前景。
• 三角多面體： 三角多面體是指所有面都是等邊三角形的凸多面體。例如，正四面體、正八面體和正二十面體都是三角多面體。由於其結構的穩定性和幾何特性，三角多面體在數學和結構設計中扮演著重要的角色。

作品詳情：基於三角多面體的可伸縮負泊松比拉脹（Auxetics）結構

Extendable auxetic structure based on deltahedron made by stringing bugle beads

創作者：林嘉陽（Jiayang Lin），施宣光 (Shen-Guan Shih)，周昌裕(ChangYu Chou)，金必耀(Bih-Yaw Jin)

• 尺寸： 20.0 x 30.0 x 30.0 厘米
• 材料： 串珠（Bugle beads）和魚線
• 創作年份： 2023

這件作品的核心創新在於**利用串接的管狀珠子（bugle beads）來創造基於三角多面體的負泊松比結構，並且這種結構可以在水平和垂直方向上無限延伸**。

作者們的主要發現是，**通過串聯管狀珠子，可以實現基於三角多面體的負泊松比結構，並使其在水平和垂直方向上都能夠無限擴展** 。他們首先利用**正三角形的負泊松比平面構型**，然後將其映射到三維的三角多面體結構中。這個三維結構的構建是通過**結合使用四面體和八面體**來實現的。

作品的一個關鍵特性是，四面體和八面體在負泊松比結構的壓縮過程中能夠相互補充。由於這種互補性，當結構完全壓縮時，可以形成基於具有相同邊長的凸多面體的最密集結構。

該模型的物理實現使用了等長的管狀珠子，長度均為 3 厘米。 作者使用了不同的顏色來展示結構的組裝方式。

這件藝術品巧妙地將數學幾何中的三角多面體概念與材料科學中的負泊松比特性相結合，並通過精巧的珠飾工藝將其呈現出來。它不僅展示了數學在藝術創作中的潛力，也為負泊松比結構的設計提供了一種新穎的思路。

關於作者

• 林嘉陽（Jiayang Lin）: 國立台灣科技大學建築系碩士生，對數字和幾何領域充滿熱情，並希望將跨領域知識應用於建築設計。
• 施宣光(Shen-Guan Shih): 國立台灣科技大學建築系教授。
• 周昌裕（ChangYu Chou）: 國立台灣科技大學建築系碩士生 。
• 金必耀(Bih-Yaw Jin): 國立台灣大學化學系教授 ，長期致力於將數學概念融入藝術創作。

欲了解此作品，請訪問 2023 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries。

© 2025 珠璣科學 |負泊松比結構

探索五重對稱之美：二十面體複合桁架模型

在 2015 年的 Bridges 會議中，金必耀與左家靜不僅展示了鈣鈦礦結構的精美模型，還呈現了另一組引人入勝的藝術作品——「Truss models of icosahedral complexes」（二十面體複合桁架模型）。這些模型以其獨特的結構和對非週期性有序結構的探索，再次展現了數學與藝術的優雅結合。

這個模型的尺寸為 12 x 12 x 12 厘米，同樣是在 2014 年 使用 空心玻璃珠 (Tubular glass beads) 製作而成。

什麼是二十面體複合體？又為何與準晶體相關？

二十面體 (icosahedron) 是一種具有 20 個三角形面、30 條邊和 12 個頂點 的柏拉圖立體。它擁有令人著迷的 五重旋轉對稱性。然而，這種五重對稱性與傳統晶體結構中常見的平移對稱性是不相容的，這意味著單獨的二十面體無法像傳統晶胞那樣在三維空間中進行週期性排列來形成晶體。

這就引出了準晶體 (quasiperiodic crystal)的概念。準晶體是一種有序但不具週期性的結構，其原因正是五重旋轉對稱性與平移對稱性之間的不相容性。準晶體雖然具有長程的有序性，但其原子排列並不呈現出像傳統晶體那樣的重複單元。

金必耀與左家靜的「Truss models of icosahedral complexes」正是對這種複雜概念的可視化嘗試。 這些模型可以被視為 有限的準晶體，是通過在 中心二十面體周圍添加足夠數量的四面體、八面體和五角雙錐體 而構建的。

更令人驚嘆的是，模型中 珠子的顏色被精心挑選，用於描繪具有二十面體對稱性的 四種不同的多面體：

• 二十面體 (icosahedron)：使用帶有螺旋圖案的珠子。
• 二十-十二面體 (icosidodecahedron)：使用白色珠子。
• 頻率為 2 的 Mackay 十二面體 (frequency-2 Mackay dodecahedron)：使用藍色珠子。
• 六十面體 (hexecontahedron)：使用紅色珠子。

這些模型的意義何在？

通過將這些不同的多面體以特定的方式組合在一起，金必耀與左家靜的作品生動地展現了構成類晶體的局部結構單元以及它們之間的複雜關係。使用空心管珠和桁架結構的方式，不僅使得模型輕巧且具有一定的剛性，更清晰地展示了這些幾何體的骨架和連接方式。

這件二十面體複合桁架模型不僅是美麗的藝術品，更是理解準晶體結構這一複雜科學概念的寶貴工具。它們將抽象的數學和物理原理轉化為具體的、可供觀賞和思考的藝術形式，激發我們對自然界中非週期性有序結構的好奇心。如同他們之前的作品一樣，金必耀與左家靜再次證明了 空心管珠是構建複雜多面體結構和探索深奧數學概念的理想媒介。

透過這些模型，我們得以一窺準晶體那既有序又非重複的奇特世界，並欣賞數學與藝術在探索物質結構本質時所展現的創造力。

欲了解更多關於 金必耀與左家靜在 2015 Bridges 會議上的作品，請訪問 Bih-Yaw Jin & Chia-Chin Tsoo | 2015 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries。

© 2025 珠璣科學 |二十面體複合桁架模型

探索材料之美：串珠 Perovskite 結構模型

在 2015 年的 Bridges 會議上，金必耀與左家靜帶來了令人著迷的數學藝術作品。其中一件名為 鈣鈦礦結構（The perovskite structure） 的串珠模型， 以其色彩分明的結構和對重要材料科學概念的視覺化呈現，引發了人們對微觀世界的好奇。

這件 鈣鈦礦結構 模型尺寸為 16 x 16 x 16 厘米，於 2014 年 使用 空心玻璃珠 (tubular glass beads) 製作而成。這個模型以 兩種不同的顏色 的空心管狀珠子構成，呈現了一個 2x2x2 的晶胞結構 。

什麼是 Perovskite 結構呢？

在材料科學中，鈣鈦礦 (perovskite) 指的是 具有特定晶體結構的一類材料 。其名稱源於最早發現的礦物——鈣鈦礦 (CaTiO₃)。更廣泛地說，具有鈣鈦礦結構的化合物通常具有通式 ABX₃，其中 A 和 B 是不同尺寸的陽離子，而 X 通常是陰離子（如氧化物或鹵化物）。

關鍵在於這些離子的排列方式： 鈣鈦礦結構可以視為由 八面體 (octahedrons) 和 立方八面體 (cuboctahedrons) 以 1:1 的比例 在三維空間中 均勻且密鋪 (space-filling tessellation) 而形成的。金必耀與左家靜的模型使用了兩種不同顏色的空心管狀珠子來建構這個結構.

金必耀與左家靜的模型正是對這種微觀排列的宏觀呈現。他們使用不同顏色的空心管珠來代表不同的結構單元，清晰地展示了八面體和立方八面體如何交織在一起，形成一個重複的、空間填充的整體。

Perovskite 材料的重要性：

值得一提的是，鈣鈦礦材料在近年來引起了科學界的廣泛關注。這是因為它們在諸如太陽能電池、發光二極體 (LEDs)、感測器和催化劑等領域展現出優異的性能。特別是在太陽能電池領域，鈣鈦礦太陽能電池因其製備成本低、效率高等優點，被認為是下一代太陽能技術的有力競爭者。

透過金必耀與左家靜的這個串珠模型，我們不僅能夠欣賞到一件精美的藝術品，更能直觀地理解鈣鈦礦這種重要材料的基礎結構。它展示了科學概念如何透過藝術的媒介變得更加具體和易於理解，也讓我們對構成我們周圍世界的微觀結構產生更深的認識。藝術與科學的結合，往往能開啟我們探索未知世界的新視角。

這件作品再次印證了空心管珠是構建由剛性結構單元（如八面體和立方八面體）組成的多面體複合體的理想材料。金必耀與左家靜持續探索利用傳統的串珠技術來呈現奈米級無機化合物和非分子晶體固體的空間排列。他們的作品不僅具有藝術價值，也為科學教育提供了一種新穎而有趣的方式。

欲了解更多關於 Bih-Yaw Jin 和 Chia-Chin Tsoo 在 2015 Bridges 會議上的作品，請訪問 Bih-Yaw Jin & Chia-Chin Tsoo | 2015 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries。

© 2025 珠璣科學 |鈣鈦礦

六方之美：探索六方密堆積晶格的骨架模型

繼上次介紹了 金必耀與左家靜令人印象深刻的立方密堆積骨架模型後，我們將目光投向他的另一件精美作品：「六方密堆積晶格結構的骨架模型 (Skeletal model of hexagonal close packing lattice structures)」。這件與前者尺寸相同的藝術品（14 x 14 x 14 厘米，同樣於 2014 年由 3 厘米的玻璃米珠製成），以其獨特的結構和色彩，展現了另一種重要的晶體堆積方式。

正如 Jin 教授的聲明中所述，他的創作靈感來源於奈米級無機化合物和非分子晶體的結構。這些結構的基礎是配位多面體，而這件作品正是對六方密堆積 (hcp) 晶格結構的精彩詮釋。

那麼，什麼是六方密堆積 (hcp) 呢？ 與立方密堆積 (fcc) 類似，六方密堆積也是一種高效的原子或離子堆積方式。然而，它們的堆疊方式有所不同。在 hcp 結構中，第一層（A）的球體位於第二層（B）球體之間的空隙上方，但第三層（A）的球體卻直接位於第一層球體的正上方，形成一種 ABABAB... 的堆疊序列。這種堆疊方式與 fcc 的 ABCABC... 序列形成鮮明對比。儘管堆積密度相同，但兩種結構的對稱性和某些物理性質卻有所差異。許多金屬，例如鋅和鎂，都採用六方密堆積結構。

這件米珠模型正是這種 ABAB 堆疊的視覺化呈現。它由一個中央較小的 反截角八面體 (anticuboctahedron)（紅色米珠）和一個外層的 二頻率反截角八面體 (frequency-two anticuboctahedron)（藍色米珠）組成。值得注意的是，反截角八面體是另一種阿基米德多面體，與六方密堆積結構有著密切的幾何聯繫。它與之前介紹的立方密堆積模型中出現的截角八面體有所不同，反映了兩種不同晶體結構的底層幾何差異。

正如網頁所指出的，六方密堆積 (hcp) 晶格結構與 fcc 八隅體桁架密切相關。這兩種密堆積方式都基於緊密的球體排列，只是在堆疊順序上有所區別。通過這兩件作品並置展出，或許也希望引導觀者思考這兩種密切相關卻又獨特的晶體結構之間的聯繫。 通過這件「六方密堆積晶格結構的骨架模型」，我們再次見證了 金必耀教授將科學概念融入藝術創作的卓越能力。他運用精湛的串珠技藝，將抽象的原子排列具體化為引人入勝的藝術品，讓我們在欣賞其美感的同時，也能對微觀世界的結構有更直觀的理解。這正是數學與藝術結合的魅力所在，它能以出人意料的方式啟發我們的思考和想像.

您可以通過以下鏈接查看該作品的更多信息：

• JMM 2018 畫廊

© 2025 珠璣科學 |六方密堆積晶格的骨架模型

Skeletal model of cubic close packing lattice structures 解構立方密堆積的精美骨架模型

在 2018 年聯合數學會議(2018 Joint Mathematics Meetings)的藝術畫廊中，金必耀與左家靜展出了一系列令人驚嘆的科學藝術作品，巧妙地將微觀的晶體結構轉化為宏觀的藝術形態。其中一件引人注目的作品便是 「立方密堆積晶格結構的骨架模型 (Skeletal model of cubic close packing lattice structures)」。

這件作品的尺寸為 14 x 14 x 14 厘米，由 3 厘米的玻璃米珠於 2014 年製作而成。它不僅僅是一個美麗的裝飾品，更是一個面心立方 (fcc) 晶體對稱性的具體呈現。

什麼是立方密堆積 (fcc) 呢？ 在化學和材料科學中，立方密堆積是一種原子或離子在晶體結構中排列的方式，其特點是具有最高的空間利用率。你可以想像將等大的球體以最緊密的方式堆疊起來，第一層（A）的球體位於第二層（B）球體之間的空隙上方，而第三層（C）的球體則不與第一層對齊，形成一種 ABCABC...的堆疊序列。這種排列方式在許多金屬和惰性氣體固體中都很常見。

此模型進一步將這種抽象的排列概念轉化為一個八隅體桁架 (octet-truss) 結構。這種桁架結構是通過以 2:1 的比例堆疊四面體和八面體這兩種基本的配位多面體 (coordination polyhedron) 構建而成。配位多面體指的是在晶體中，中心離子周圍規則排列的相鄰離子所形成的幾何形狀。四面體和八面體是自然界中最常見且最穩定的配位多面體之一.

更令人稱奇的是，八隅體桁架空間框架因其基本構建單元的內在剛性而展現出高強度和輕量化的特性。這使得它在工程領域，例如航空航天材料的設計中，也具有重要的研究價值。

在這個精美的米珠模型中，我們可以清晰地看到其精巧的結構：一個中央較小的截角八面體 (cuboctahedron) 由棕色米珠構成，而外層則是一個二頻率截角八面體 (frequency-two cuboctahedron)，由黃色米珠組成。截角八面體是一種由正方形和正三角形面組成的阿基米德多面體，它與立方密堆積結構有著密切的幾何關係。

通過這件「立方密堆積晶格結構的骨架模型」，金必耀與左家靜不僅展示了他精湛的傳統串珠技藝，更將深奧的化學和材料科學概念以一種直觀且美觀的方式呈現出來，讓我們得以欣賞數學與藝術交融的獨特魅力。這也體現了藝術家從基本的配位多面體出發，利用簡單的幾何原理，創造出複雜且美觀的骨架雕塑的理念.

您可以通過以下鏈接查看該作品的更多信息：

• JMM 2018 畫廊

© 2025 珠璣科學 |立方密堆積

Enantimorphs for compounds of five tetrahedra

Left- and right-handed compounds of five tetrahedra built by a student, 資工系 徐衍新, in my class, Molecular Aesthetics 2020.

Two models for the Bridges 2018

Straw model of the elevated icosahedron (himmelis)

Two bead models for the JMM math art exhibitions

Chia-Chin and I submit two bead structures for the coming Joint Mathematical Meeting next January. These two models are made almost four years ago.

Goldberg's tri-stable polyhedron

Interpenetrated Boerdijk–Coxeter helix

Inspired by the work of Rinus Roelofs.
作品完成時間：2015/4

Da Vinci's Three Elevated Archimedean Solids - Cuboctahedron, small rhombicuboctahedron, and icosidodecahedron

Da Vinci's elevated polyhedra

Leonardo da Vinci (1452-1519) made outstanding illustrations for Luca Pacioli's 1509 book "The Divine Proportion", in which they described "elevated" forms of many polyhedra. In the Seoul Bridges meeting this year, Rinus Roelofs presented a beautiful paper on the similarities and differences between Da Vinci's elevations and Kepler's stellations.

For details, check the following pdf file:

Rinus Roelofs, Elevations and Stellations, Proceedings of Bridges 2014: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, 235-242.

Figure 1 and 2 in the paper are original illustrations made by Leonardo da Vinci:

It is interesting that bead models for the five elevated regular polyhedra can be built easily with great effects. Among them, elevated cube and dodecahedron are more flexible as expected.

Also, these five elevated Platonic solids can be viewed as nonconvex deltahedra with the names, triakis tetrahedron, tetrakis hexahedron, triakis octahedron (stella octangula), pentakis dodecahedron, and triakis icosahedron, respectively.

Additionally, the elevated icosidodecahedron was also illustrated beautifully by Da Vinci in the book.

The corresponding bead model can also be built!

Frequency 2 Icosahedron

One more Truss model of perovskite (or fluorite/antifluorite) structure

I made another truss model of perovskite structure with octahedra constructed by yellow and blue bugle beads.

Octahedral diamond net

Truss model of perovskite (or fluorite/antifluorite) structure

Spinel structure

Truss models of cubic and hexagonal closest packings

I made two more bead models of two-layer cuboctahedron and twisted cuboctahedron (anticuboctahedron) to illustrate the vector equilibrium of Buckminster Fuller. Through these two models, the connection to the cubic and hexagonal closest packings can also be visualized more easily.

Tetrahelices - two bead models of Boerdijk–Coxeter helix

There is a helical tower based on the Boerdijk–Coxeter helix in Mito-shi, Ibaraki-ken, Japan:

Art Tower MIT

So, during my visit to Nagoya this May, I made several tetrahelices as souvenirs for my friends there. Since I brought many tubular beads with different colors to choose from, so I decided to use different color for three helical edges in each tetrahelix. In total, there should be four possible arrangements or two enantiomer pairs. But I only made two of them shown in the following picture. After I made these two tetrahelices, so many people also like to have this model, so I made two more tetrahelices before I left Japan.