Schwarz P 曲面的串珠模型

繼我們之前探討過的 Schwarz's D 與 Schoen G 曲面的串珠富勒烯模型之後，現在讓我們將注意力轉向一個由 莊宸與金必耀 協力製作的早期串珠模型。這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型 大約在2007 年左右完成，比他們之後於 2011 年完成的 Schoen G 曲面以及 2008 年完成的 Schwarz D 曲面模型還要早。您現在可以在下方看到這個模型的照片：

理解 Schwarz P 曲面

與 Schoen G 曲面和 Schwarz D 曲面類似，Schwarz P 曲面 是 三週期極小曲面 (Triply Periodic Minimal Surface, TPMS) 的一個經典例子。TPMS 是在三個方向上都具有週期性，並且在所有點上的平均曲率都為零的曲面，這意味著它們局部看起來像馬鞍形。這些曲面在數學、材料科學乃至生物學中都引起了極大的興趣。

以 Hermann Schwarz 命名的 P 曲面，其特點是具有立方對稱性。它將空間劃分為兩個全等的迷宮狀區域。其基本單元可以想像成一個立方體，相鄰面中心的點之間由彎曲的表面連接。

受到使用串珠技術構建數學結構的啟發，莊宸與金必耀 在大約 2008 年合作完成了這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型。由於 P 曲面的結構相對 單純，這使得它成為比結構更複雜的 D 曲面和 G 曲面更早完成的作品。這個模型使用了 與後續作品相同材質與大小的珠子，採用了與其他串珠數學雕塑類似的 角編織 方法。由 八個晶胞 組成的 2x2x2 結構，可以讓人們更具體地理解 P 曲面的週期性。

模型的意義

創建這樣的串珠模型具有多重意義。首先，它提供了一種 動手實踐的方式來可視化 一個複雜的數學概念。極小曲面的抽象性可能難以理解，而物理模型則可以讓人們更直觀地掌握其幾何和拓撲結構。其次，它突出了 數學與藝術的交叉，展示了數學原理如何激發出美觀而複雜的結構，就像 Bridges 展覽中探索的富勒烯模型一樣。這個早期的 P 曲面模型也為後續更複雜的 TPMS 串珠模型的創作奠定了基礎.

關於展覽歷史的說明

需要特別指出的是，這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型並未在 Bridges 會議或 Joint Mathematical Meetings 的數學藝術展覽中單獨展出。這篇博客文章旨在介紹這個早期合作完成的個人作品。

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舍恩 G 曲面富勒烯串珠模型

賞析：

本次我們將聚焦於一件曾在 2012 年 Joint Mathematics Meetings 上展出的引人入勝的數學藝術作品：舍恩 G 曲面富勒烯串珠模型 (Beaded Fullerene of Schoen's G Surface)。這件藝術品是由 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 共同創作。

作品詳情

• 作品名稱：舍恩 G 曲面富勒烯珠飾模型 (Beaded Fullerene of Schoen's G Surface)
• 創作者：Chern Chuang, Bih-Yaw Jin, Wei-Chi Wei
• 展出年份：2012 Joint Mathematics Meetings
• 創作年份：2011 年
• 尺寸：18.5cm x 18.5 cm x 20cm
• 材料：刻面塑膠珠和魚線 (Faceted plastic beads and fish thread)

結構特色與概念

這件精美的珠飾模型展現了 Schoen's G 曲面 的富勒烯結構。根據作者們的陳述，他們作為化學家，對由石墨碳構成的 富勒烯 分子及其相應的珠飾模型之間的關聯性抱有濃厚的興趣，因為分子的幾何形狀極大地影響其功能。

他們認為，富勒烯分子 非常適合用於製作珠飾模型，並且最終的模型不僅忠實地再現了分子結構，還具有藝術上的吸引力。本次展出的兩個珠飾分子模型之一便是舍恩的 G 曲面，另一件是施瓦茲的 D 曲面，兩者皆為經典的 三週期極小曲面 (Triply Periodic Minimal Surfaces, TPMS)。

作者們通過在規則的六邊形蜂窩結構中巧妙地插入 八邊形，並在所有三個維度上引入週期性邊界條件，從而獲得了這些 TPMS 的富勒烯對應物。在這些珠飾模型中，八邊形由彩色珠子表示，而六邊形則為白色。

特別地，舍恩的 G 曲面 被認為是最難以捉摸的嵌入式 TPMS 之一，然而它卻廣泛存在於生物和材料科學中。如同 P 曲面和 D 曲面可以分別分解為相互連接的懸鏈線和螺旋面單元一樣，G 曲面可以被視為是連接的螺旋面，它們處於懸鏈線-螺旋面等距變形的中間狀態 。這個珠飾的螺線包含 16 個這樣的單元，每個單元的長度為兩個平移單元。模型中，作者使用了三種不同的顏色來表示八元環，因為這些環可以根據其面法線進行分類。在通常的右手笛卡爾坐標系中，面法線沿 x 軸的八元環用紫色珠子表示，而沿 y 軸和 z 軸的則分別用藍色和綠色表示。

背景介紹

富勒烯是由碳原子組成的閉合籠狀或管狀分子。最著名的富勒烯是 C60，又稱巴克球，具有足球狀的結構。富勒烯因其獨特的幾何和電子性質而在化學、材料科學和納米技術等領域引起了廣泛的關注。

三週期極小曲面 (TPMS) 是在三個方向上都具有週期性的極小曲面。極小曲面是指其平均曲率處處為零的曲面，在局部上具有類似鞍形的形狀。TPMS 在數學、材料科學（如液晶和嵌段共聚物的微觀結構）以及生物學中都有廣泛的應用。

舍恩 G 曲面 是一種複雜且重要的 TPMS，因其在自然界和材料科學中的普遍存在而備受關注。其獨特的幾何特性使其成為研究界面現象和週期性結構的理想模型。

網站連結

您可以在 Bridges Organization 的網站上找到更多關於 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 的藝術作品：

• The Bridges Organization
• Chern Chuang, Bih-Yaw Jin, Wei-Chi Wei | 2012 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries

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克萊因全七邊形網絡P曲面嵌入串珠模型

Bridges會議是一個獨特的國際盛會，匯集了數學、藝術、音樂、建築等多元領域的參與者。其數學藝術展覽是會議的重要組成部分，展示了數學概念與藝術創作的精妙結合。在2018年的Bridges會議上，一件名為 "Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface"（嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠飾模型）的藝術品，以其複雜的幾何結構和視覺呈現，吸引了眾多目光。

背景介紹：最小曲面與富勒烯

在深入了解這件藝術品之前，我們需要對以下概念有所了解：

• 最小曲面（Minimal Surface）： 在給定邊界下，具有最小表面積的曲面。P-曲面是一種三週期極小曲面（Triply Periodic Minimal Surface, TPMS）。
• 富勒烯（Fullerene）： 一類由碳原子組成的籠狀分子，例如著名的巴克球C60。藝術家們也對具有非球形結構的假設富勒烯進行了探索。
• 克萊因全七邊形網絡（Klein’s all-heptagon network）： 一種僅由七邊形組成的週期性圖形結構。

藝術品詳情：Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface

Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface

創作者：劉采容 (Tsai-Jung Liu)與金必耀 (Bih-Yaw Jin)

• 尺寸： 16 x 16 x 16 厘米
• 材料： 8毫米塑料珠子
• 創作年份： 2015

這件雕塑作品呈現了一個 **嵌入在虧格為3的P型三週期極小曲面中的克萊因全七邊形網絡的物理模型**。這個網絡可以通過 **Goldberg向量 (1,0)** 來指定，其中每個七邊形都被七個相鄰的七邊形所環繞。

在結構的單元晶胞中，包含了 **56個碳原子**，**84條邊** 和 **24個面**。藝術家們使用 **8毫米的塑料珠子** 來精確地呈現這一複雜的幾何結構。

根據藝術家的闡述，在化學領域，串珠模型中珠子之間的硬球排斥可以顯著地模擬富勒烯（一種球狀純碳分子）的分子形狀 。此前，在2016年的聯合數學會議（Joint Mathematical Meeting）藝術展覽上，畢耀明和鄒嘉勤曾展出過與嵌入在類金剛石最小曲面中的假設負曲率富勒烯相關的珠飾模型。而本次展出的作品則展示了嵌入在P型最小曲面上的兩種sp2碳同素異形體，它們由七邊形和六邊形構成。

這件作品不僅在視覺上引人入勝，更體現了數學、化學與藝術之間的深刻聯繫，通過具體的物理模型幫助人們理解抽象的幾何概念和分子結構。

關於作者

• 劉采容 (Tsai-Jung Liu):。
• 金必耀 (Bih-Yaw Jin): 國立台灣大學化學系教授，長期致力於使用串珠技術構建各種數學和化學結構的模型。

「嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠子模型」是數學、科學和藝術之間深刻聯繫的一個傑出範例。它不僅展示了製作者高超的珠飾技巧，也體現了他們對複雜幾何結構的深刻理解。如果您對這個作品或其他數學藝術作品感興趣，請務必訪問 Bridges 數學藝術畫廊 以獲取更多資訊。

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雙曲足球烯串珠模型

我們很高興向大家介紹另一件由化學家 Chia-Chin Tsoo 與 Bih-Yaw Jin 創作的迷人數學藝術作品：雙曲足球珠飾模型 (Hyperbolic soccerball)。這件作品與「克萊因全七邊形網絡珠飾模型」一同在 2016 年的 Joint Mathematics Meetings 上展出。

作品詳情

• 作品名稱：雙曲足球珠飾模型 (Hyperbolic soccerball)
• 創作者：Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin
• 展出年份：2016 Joint Mathematics Meetings
• 創作年份：2014 年
• 尺寸：16 x 16 x 16 公分
• 材料：6 毫米塑膠珠

結構特色與概念

這個珠飾模型呈現了一個被稱為雙曲足球 (hyperbolic soccerball) 或 D168 施瓦茲體 (D168 Schwarzite) 的雙曲石墨結構。正如普通的巴克球（分子足球 C60）是一種球形富勒烯分子，其中兩個相鄰的五邊形被單個碳-碳鍵隔開一樣，雙曲足球是一種雙曲石墨結構，其中兩個相鄰的七邊形也被單個碳-碳鍵隔開。

藝術家們運用角織 (angle-weave) 技術，僅使用珠子和線繩，建構出這個近似 3D 曲面的穩固模型。他們對拓撲上非平凡的結構感興趣，其靈感來自於富勒烯和石墨烯。

拓撲背景

如同我們在介紹「克萊因全七邊形網絡珠飾模型」時提到的，虧格 (Genus) 是描述曲面「洞」的數量。雙曲足球作為一種雙曲結構，也具有一樣的虧格。然而，它與具有負曲率的曲面相關聯。

負曲率是指曲面上不同方向的彎曲程度不同，導致局部呈現類似馬鞍的形狀。包含非六邊形環（如七邊形）的石墨結構通常會展現負曲率，這是因為為了容納這些較大的環，結構必須向外彎曲。

與 克萊因全七邊形網絡串珠模型的關聯

來源指出，雙曲足球與 D56 施瓦茲體結構（即克萊因全七邊形網絡所近似的結構）之間存在關聯。具體來說，雙曲足球（D168 施瓦茲體）是通過對 D56 施瓦茲體結構進行跳蛙變換 (leapfrog transformation) 得到的，這個變換包括全冠 (omnicapping) 接著一個對偶化 (dualization)操作。

這意味著這兩個珠飾模型都代表了具有負曲率的週期性石墨結構，並且它們之間存在明確的拓撲和幾何轉換關係。克萊因全七邊形網絡完全由七邊形構成，而雙曲足球則是以類似足球烯的方式排列七邊形，相鄰的七邊形被單個碳-碳鍵隔開。

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• Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin | 2016 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries

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克萊因全七邊形網絡串珠模型 Bead model of Klein's all-heptagon network

我們在此向大家介紹一件引人入勝的數學藝術作品：克萊因全七邊形網絡珠飾模型 (Bead model of Klein's all-heptagon network)。這件作品由化學家 金必耀與左家靜 共同創作，並於 2016 年的 Joint Mathematics Meetings 上展出。

作品詳情

• 作品名稱：克萊因全七邊形網絡珠飾模型 (Bead model of Klein's all-heptagon network) [2]
• 創作者：金必耀與左家靜
• 展出年份：2016 Joint Mathematics Meetings
• 創作年份：2014 年
• 尺寸：24 x 24 x 24 公分
• 材料：8 毫米塑膠珠

結構特色與概念

這件珠飾模型呈現了一個週期性的石墨結構，近似於一個虧格 (genus) 為 3 的負曲率 D-曲面，表面裝飾著 Felix Klein 的全七邊形開放網絡。創作者指出，基於這種結構的假設性碳同素異形體可以被稱為 D56 原型施瓦茲體 (D56 protoschwarzite)，因為其晶胞中包含 24 個七邊形和 56 個碳原子 。

在他們的藝術家聲明中，左家靜與金必耀（台灣大學化學系）提到他們是對拓撲上非平凡的結構感興趣的化學家，其靈感來自於富勒烯和石墨烯。他們運用數學珠飾的角織 (angle-weave) 技術，僅使用珠子和線繩，就能夠建構出任意 sp2 雜化石墨結構的近似 3D 曲面之穩固模型。克萊因全七邊形網絡珠飾模型便是他們展示的兩件珠飾雕塑之一。

拓撲背景

為了更好地理解這個作品的拓撲意義，我們需要了解一些背景知識。虧格 (Genus) 是拓撲學中描述一個曲面具有多少個「洞」的數字。例如，一個球面（如足球）的虧格是 0，一個環面（如甜甜圈）的虧格是 1。這個珠飾模型所近似的 D-曲面每個晶胞具有虧格 3，意味著它在拓撲上相當於有三個「洞」的物體。

負曲率是指曲面上不同點的彎曲方向不同，例如馬鞍的形狀就具有負曲率。與正曲率（如球面的彎曲）和零曲率（如平面的平坦）相對。具有全七邊形網絡的石墨結構由於其非六邊形的環，往往呈現負曲率。

Felix Klein 的全七邊形網絡是一種特定的週期性表面結構，其特徵是完全由七邊形構成。這種網絡在數學和化學上都具有重要的研究價值，因為它可以作為構建具有特定拓撲性質的理論材料的基礎。

這個珠飾模型通過具體的物理形式，將抽象的拓撲概念和數學結構可視化，展現了數學與藝術之間的深刻聯繫。

與富勒烯和石墨烯的關聯

藝術家提到他們的靈感來自於富勒烯和石墨烯。富勒烯（最著名的例子是 C60 足球烯）是碳原子組成的球狀分子，而石墨烯是碳原子組成的單層蜂窩狀平面結構。這兩種物質都具有獨特的幾何和電子性質，激發了科學家和藝術家的廣泛興趣。克萊因全七邊形網絡可以被視為是探索新型碳同素異形體的一種理論模型。

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Beaded (1,1) Gyroidal Surface

本作品由國立臺灣大學的 陳儀斌（Yi-Bin Chen）（農業經濟學系本科生）製作， 助教何厚勳在設計上做了重要貢獻， 並入選 Bridges 2023 數學藝術展覽。

作品簡介

「Beaded (1,1) Gyroidal Surface」是一件基於 螺旋面（Gyroid Surface） 幾何結構的藝術作品，透過數學串珠方法來呈現流線型的曲面結構，展現拓撲學與藝術設計的結合。

創作背景

在國立臺灣大學 金必耀教授 開設的「分子美學」課程中，學生們學習如何將分子結構轉化為可視化的藝術模型。金教授曾展示一個以珠子構建的 (2,0) 螺旋面 模型，啟發了學生們的創作靈感。

Yi-Bin Chen基於這個概念，選擇 (1,1) Goldberg 向量 作為設計基礎，並透過不同顏色的珠子來構建螺旋曲面結構。他特別使用 藍色、紅色與黃色 的八角形珠子，將它們排列在六角形條帶的適當位置，調整模型的曲率，使其呈現自然的螺旋形狀。

作品特色

• 名稱： Beaded (1,1) Gyroidal Surface
• 尺寸： 30.0 × 30.0 × 30.0 公分
• 材質： 6 毫米塑膠珠子、魚線
• 創作年份： 2022 年
• 數學概念： 螺旋面結構、Goldberg 向量、拓撲學

藝術家簡介

何厚勳 是國立臺灣大學化學系博士生，專注於碳分子的數學結構與藝術表現。他的研究涵蓋 碳納米管（CNTs）、富勒烯（Fullerenes） 及其幾何排列方式。

陳儀斌 是國立臺灣大學農業經濟學系的本科生，對於結合傳統工藝與數學藝術有濃厚的興趣。他透過數學串珠的方法，探索分子幾何的視覺化表達。

數學藝術與拓撲學

螺旋面（Gyroid Surface）是一種在 材料科學、結晶學與數學 中具有重要應用的幾何結構。其特點是沒有鏡面對稱性，卻能形成連續但不相交的三維曲面，這種結構在自組裝材料與光子晶體的研究中扮演重要角色。

「Beaded (1,1) Gyroidal Surface」通過簡單的串珠技術，成功模擬了這種複雜的數學結構，展現數學與藝術的完美融合。

相關連結

• Bridges 2023 數學藝術展 - 陳儀斌與何厚勳
• 國立臺灣大學化學系
• 國立臺灣大學農業經濟學系
• 金必耀教授 - 國立臺灣大學
• Gyroid 螺旋面
• 數學藝術（Mathematical Art）

「Beaded (1,1) Gyroidal Surface」透過珠子與魚線的簡單元素，展現出拓撲學的精妙之處。這不僅是一件數學與藝術結合的作品，也為分子結構的視覺化提供了新的表現方式，讓觀者感受到數學世界的美麗與秩序。

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Schwarz D ("Diamond") minimal surface

Two students, 張皓 and 李于婕, in the class, Molecular Aesthetics 2020, recreated a bead model of Schwarz D ("Diamond") triply periodic minimal surface with 6mm black beads.

P-type Triply-Periodic Minimal Surface. (Molecular Aesthetics 2020)

Bead model for a P-Type Triply Periodic Minimal Surface constructed by a group students in my class, Molecular Aesthetics 2020.

Two articles about the construction of gyroid- and diamond-type triply periodic minimal surfaces

I wrote two articles in Chinese for the Journal, Chemistry Education in Taiwan (臺灣化學教育) last year. The pdf files have just come out:
1. 左家靜, 莊宸, 金必耀, 大家一起做多孔螺旋與鑽石型三度週期最小曲面的串珠模型（上）─立體幾何介紹，2014 臺灣化學教育, 328-335.
2. 莊宸, 左家靜, 金必耀, 大家一起做多孔螺旋與鑽石型三度週期最小曲面的串珠模型（下）─實作，2014 臺灣化學教育, 336-344.
The title can be translated as "Application of mathematical beading to carbon nanomaterials - A hands-on, collaborative approach to gyroid- and diamond-type triply periodic minimal surfaces with beads, I and II", literally. I described a simple modular approach which was developed mainly by Chern Chuang for making gyroid- and diamond-type Triply Periodic Minimal Surfaces.

Beadworks for the mathart exhibition (Mar. 15, 2014)

D- and G-types TPMSs

28 groups of students from TFGH joined the competition designed by Ms. Chou and other teachers in the chemistry group of TFGH. They were asked to make any of these two complicated 3D models based on the slides I prepared for the G- and D-surfaces. It is still nontrivial for a beginner, who has no knowledge on the periodic minimal surfaces and graphitic structures. But most of them succeeded in creaking one of these two models. Unfortunately, when they asked local sellers about the suitable thickness of Nylon strings for 12mm beads. They were told that 0.6mm NyLong strings are best. That is why most of models they made are so soft and unable to stand on themselves. To solve the problem, students came up with the idea to hang these models on four legs of an upside-down desk they use for lectures.

However, one group discovered the cause to be the thickness of the Nylon string. Then students of that group changed the Nylon strings to 0.8mm. The two TPMS models they made are shown in the following photo. They look really nice and beautiful.

The one on the left is the G-surface. The one on the right side is the D-surface consisting of 16 helical strips. Using the decomposition technique Chern Chuang designed, we can use the same helical strips to create these two types of TPMSs.

Gyroidal Invinciball

A graphitic gyroid is a hyperbolic object. To make it, we need to introduce octagons at suitable positions on a graphitic sheet, which is similar to the pentagons in the spherical space such as buckyball. In some sense, we can view graphitic gyroid as a kind of "ball" in the hyperbolic space.

Students from the TFGH created this gyroidal invinciball in the hyperbolic space. Unfortunately, they used 0.6mm Nylon strings for the 12mm faceted beads. The structure is too soft to stand on its own.

Gyroidal National Flag of Republic of China (Taiwan)

I went to a special ceremony for the beading competition held in the Tapei First Girls High School this afternoon. I saw this amazing 3D flag model of my country, Republic of China (i.e. Taiwan), which is made by a suitable color code of octagons in a gyroidal graphene.

BTW, you can also interpret this flag as that of US.

G- and D-surfaces in TFGH

Fang-Fei Chou and other teachers of chemistry section of the Taipei First Girl High school (TFGH) started a new bead project based on the slides I made for the anniversary of their school early next month. Using these slides only, they are going to make 2x2x2 G and D surfaces by themselves. Fang-Fei told me that there are about 30 teams in this project, which means they are going to have about 30 giant bead models of TPMS.

Attached is a photo that shows their current progress.

As you can see that their strips are quite long because they use 12mm beads. I made two G surfaces with 6mm and 8 mm beads, respectively. The one made of 6mm beads is about 20x20x20cm. So the G surfaces they are going to make are about 40x40x40cm. I wonder where they are going to put so many gigantic bead models.

The procedure for constructing G- and D- surfaces

Here are a few slides that show the detailed instruction for making G- and D- surfaces, which I prepared for students and teachers of TFG (Taipei) school. As I said it could be a difficult task because the gyroidal structure and D-type TPMS are complicated structures. The first bead model of a 2x2x2 G-surface took Chern and I almost five years to finally make it. Of course, I have many unfinished bead models of this structure or similar structures with different Goldberg vectors, some made by Chern and some by me, which have mistakes here or there.

In order to how to make this model successfully, we'd better to know the three-dimensional structures of G- and D-type surfaces a little bit. Additionally, it is crucial to know how two structures can be decomposed into several basic unit strips and how to connect these helical strips.

I am also working on an article in Chinese entitled "大家一起動手做多孔螺旋與鑽石型三度週期最小曲面的串珠模型 (A Hands-on, Collaborative Approach to Gyroid- and Diamond-type Triply Periodic Minimal Surfaces with Beads)", which describes in details the procedure to make G- and D-surfaces and also give some background information on TPMS. I might be able to finish the paper in a few days. Hopefully, I will find time to do it in English someday. But, even without detailed explanations, these slides together with other posts in this blog should already contain enough information for people who want to do it.

The first nine slides should give students a better picture of a gyroid:

In slide 10, we can see how a coronene unit corresponds to 1/8 unit cell. Important structural features of a beaded gyroid is summarized in slide 11. Then in slides 12-15, I describe how to make the basic construction unit, a long strip, which should be easy for student to make.

The remaining five slides, 16-20, use schematic diagrams to show how two slides can be combined to generate either D-surface or G-surface.

To create a 2x2x2 gyroidal surface, we need 16 strips, which can be easily done if many people work in parallel. To connect them is nontrivial, you need to follow slides 16-20 carefully. In total, there are about 5000 beads in the model.

Gyroid: simulation vs bead model

I carefully recalculated the region of Gyroidal surface and got a better comparison between the calculated surface and the bead model. The agreement is quite well. We can see the helical strips we used have made the whole structure a little bit longer than 2 unit cells along the z direction.

Another way to view D surface

There is another way to partition the D-surface to its constituents. It looks quite different.

It would be interesting to compare these pictures with the bead model of D surface Wei-Chi made:

(http://www.ams.org/mathimagery/displayimage.php?album=32&pid=418#top_display_media, AMS Math Imagery)

P, G, and D surfaces

I am planning to have a project with students and teachers of TFG (Taipei) school later this month to construct Gyroidal and D surfaces together. It could be a difficult task because the gyroidal structure is probably the most complicated bead structure Chern and I have ever made. A simple tutorial on the three-dimensional structure of a gyroidal surface and how it can be decomposed into several basic and easily weaved units seems to be useful. So I am now preparing some slides to make the project work out smoothly. Here is one of the slides about the famous P-, D- and G-types Triply Periodic Minimal Surfaces (TPMS) which I generated with matlab:

Additionally, Chern, Wei-Chi, Chia-Chin and I also have a paper jointly for the Bridges meeting last summer. Chern made the presentation. I didn't attend it, though. This paper describes the bead models of these three structures quite generally.

Chuang, C.; Jin, B.-Y.; Wei, W.-C.; Tsoo, C.-C. "Beaded Representation of Canonical P, D, and G Triply Periodic Minimal Surfaces", Proceedings of Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, 2012, 503-506.

Chern Chuang and Paul Hildebrandt with G and D surfaces

A photo of Chern (with G surface) and Paul (with D surface) in the Bridges conference held in the Towson university, Baltimore, USA:

(Photo by Helen Yu)

From carbon cube to Schoen's I-WP surface

As I mentioned in the previous post, we can create necks by replacing every pentagon around corners by a heptagon. The structure thus obtained is a single unit cell for the Schoen's I-WP surface! The eight necks in this particular case are, however, too thin to be chemically stable.