Schwarz P 曲面的串珠模型

繼我們之前探討過的 Schwarz's D 與 Schoen G 曲面的串珠富勒烯模型之後，現在讓我們將注意力轉向一個由 莊宸與金必耀 協力製作的早期串珠模型。這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型 大約在2007 年左右完成，比他們之後於 2011 年完成的 Schoen G 曲面以及 2008 年完成的 Schwarz D 曲面模型還要早。您現在可以在下方看到這個模型的照片：

理解 Schwarz P 曲面

與 Schoen G 曲面和 Schwarz D 曲面類似，Schwarz P 曲面 是 三週期極小曲面 (Triply Periodic Minimal Surface, TPMS) 的一個經典例子。TPMS 是在三個方向上都具有週期性，並且在所有點上的平均曲率都為零的曲面，這意味著它們局部看起來像馬鞍形。這些曲面在數學、材料科學乃至生物學中都引起了極大的興趣。

以 Hermann Schwarz 命名的 P 曲面，其特點是具有立方對稱性。它將空間劃分為兩個全等的迷宮狀區域。其基本單元可以想像成一個立方體，相鄰面中心的點之間由彎曲的表面連接。

受到使用串珠技術構建數學結構的啟發，莊宸與金必耀 在大約 2008 年合作完成了這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型。由於 P 曲面的結構相對 單純，這使得它成為比結構更複雜的 D 曲面和 G 曲面更早完成的作品。這個模型使用了 與後續作品相同材質與大小的珠子，採用了與其他串珠數學雕塑類似的 角編織 方法。由 八個晶胞 組成的 2x2x2 結構，可以讓人們更具體地理解 P 曲面的週期性。

模型的意義

創建這樣的串珠模型具有多重意義。首先，它提供了一種 動手實踐的方式來可視化 一個複雜的數學概念。極小曲面的抽象性可能難以理解，而物理模型則可以讓人們更直觀地掌握其幾何和拓撲結構。其次，它突出了 數學與藝術的交叉，展示了數學原理如何激發出美觀而複雜的結構，就像 Bridges 展覽中探索的富勒烯模型一樣。這個早期的 P 曲面模型也為後續更複雜的 TPMS 串珠模型的創作奠定了基礎.

關於展覽歷史的說明

需要特別指出的是，這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型並未在 Bridges 會議或 Joint Mathematical Meetings 的數學藝術展覽中單獨展出。這篇博客文章旨在介紹這個早期合作完成的個人作品。

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克萊因全七邊形網絡P曲面嵌入串珠模型

Bridges會議是一個獨特的國際盛會，匯集了數學、藝術、音樂、建築等多元領域的參與者。其數學藝術展覽是會議的重要組成部分，展示了數學概念與藝術創作的精妙結合。在2018年的Bridges會議上，一件名為 "Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface"（嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠飾模型）的藝術品，以其複雜的幾何結構和視覺呈現，吸引了眾多目光。

背景介紹：最小曲面與富勒烯

在深入了解這件藝術品之前，我們需要對以下概念有所了解：

• 最小曲面（Minimal Surface）： 在給定邊界下，具有最小表面積的曲面。P-曲面是一種三週期極小曲面（Triply Periodic Minimal Surface, TPMS）。
• 富勒烯（Fullerene）： 一類由碳原子組成的籠狀分子，例如著名的巴克球C60。藝術家們也對具有非球形結構的假設富勒烯進行了探索。
• 克萊因全七邊形網絡（Klein’s all-heptagon network）： 一種僅由七邊形組成的週期性圖形結構。

藝術品詳情：Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface

Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface

創作者：劉采容 (Tsai-Jung Liu)與金必耀 (Bih-Yaw Jin)

• 尺寸： 16 x 16 x 16 厘米
• 材料： 8毫米塑料珠子
• 創作年份： 2015

這件雕塑作品呈現了一個 **嵌入在虧格為3的P型三週期極小曲面中的克萊因全七邊形網絡的物理模型**。這個網絡可以通過 **Goldberg向量 (1,0)** 來指定，其中每個七邊形都被七個相鄰的七邊形所環繞。

在結構的單元晶胞中，包含了 **56個碳原子**，**84條邊** 和 **24個面**。藝術家們使用 **8毫米的塑料珠子** 來精確地呈現這一複雜的幾何結構。

根據藝術家的闡述，在化學領域，串珠模型中珠子之間的硬球排斥可以顯著地模擬富勒烯（一種球狀純碳分子）的分子形狀 。此前，在2016年的聯合數學會議（Joint Mathematical Meeting）藝術展覽上，畢耀明和鄒嘉勤曾展出過與嵌入在類金剛石最小曲面中的假設負曲率富勒烯相關的珠飾模型。而本次展出的作品則展示了嵌入在P型最小曲面上的兩種sp2碳同素異形體，它們由七邊形和六邊形構成。

這件作品不僅在視覺上引人入勝，更體現了數學、化學與藝術之間的深刻聯繫，通過具體的物理模型幫助人們理解抽象的幾何概念和分子結構。

關於作者

• 劉采容 (Tsai-Jung Liu):。
• 金必耀 (Bih-Yaw Jin): 國立台灣大學化學系教授，長期致力於使用串珠技術構建各種數學和化學結構的模型。

「嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠子模型」是數學、科學和藝術之間深刻聯繫的一個傑出範例。它不僅展示了製作者高超的珠飾技巧，也體現了他們對複雜幾何結構的深刻理解。如果您對這個作品或其他數學藝術作品感興趣，請務必訪問 Bridges 數學藝術畫廊 以獲取更多資訊。

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雙曲足球烯串珠模型

我們很高興向大家介紹另一件由化學家 Chia-Chin Tsoo 與 Bih-Yaw Jin 創作的迷人數學藝術作品：雙曲足球珠飾模型 (Hyperbolic soccerball)。這件作品與「克萊因全七邊形網絡珠飾模型」一同在 2016 年的 Joint Mathematics Meetings 上展出。

作品詳情

• 作品名稱：雙曲足球珠飾模型 (Hyperbolic soccerball)
• 創作者：Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin
• 展出年份：2016 Joint Mathematics Meetings
• 創作年份：2014 年
• 尺寸：16 x 16 x 16 公分
• 材料：6 毫米塑膠珠

結構特色與概念

這個珠飾模型呈現了一個被稱為雙曲足球 (hyperbolic soccerball) 或 D168 施瓦茲體 (D168 Schwarzite) 的雙曲石墨結構。正如普通的巴克球（分子足球 C60）是一種球形富勒烯分子，其中兩個相鄰的五邊形被單個碳-碳鍵隔開一樣，雙曲足球是一種雙曲石墨結構，其中兩個相鄰的七邊形也被單個碳-碳鍵隔開。

藝術家們運用角織 (angle-weave) 技術，僅使用珠子和線繩，建構出這個近似 3D 曲面的穩固模型。他們對拓撲上非平凡的結構感興趣，其靈感來自於富勒烯和石墨烯。

拓撲背景

如同我們在介紹「克萊因全七邊形網絡珠飾模型」時提到的，虧格 (Genus) 是描述曲面「洞」的數量。雙曲足球作為一種雙曲結構，也具有一樣的虧格。然而，它與具有負曲率的曲面相關聯。

負曲率是指曲面上不同方向的彎曲程度不同，導致局部呈現類似馬鞍的形狀。包含非六邊形環（如七邊形）的石墨結構通常會展現負曲率，這是因為為了容納這些較大的環，結構必須向外彎曲。

與 克萊因全七邊形網絡串珠模型的關聯

來源指出，雙曲足球與 D56 施瓦茲體結構（即克萊因全七邊形網絡所近似的結構）之間存在關聯。具體來說，雙曲足球（D168 施瓦茲體）是通過對 D56 施瓦茲體結構進行跳蛙變換 (leapfrog transformation) 得到的，這個變換包括全冠 (omnicapping) 接著一個對偶化 (dualization)操作。

這意味著這兩個珠飾模型都代表了具有負曲率的週期性石墨結構，並且它們之間存在明確的拓撲和幾何轉換關係。克萊因全七邊形網絡完全由七邊形構成，而雙曲足球則是以類似足球烯的方式排列七邊形，相鄰的七邊形被單個碳-碳鍵隔開。

網站連結

您可以在 Bridges Organization 的網站上找到更多關於 Bih-Yaw Jin 教授及其合作者的藝術作品：

• The Bridges Organization
• Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin | 2016 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries

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第二型氫氣水合物（Type II Hydrogen Clathrate）

第二型氫氣水合物（Hydrogen Clathrate Type II）：更大籠狀結構的幾何奧秘

除了第一型氫氣水合物，金必耀與左家靜在 2018 年 Bridges 數學藝術大會 上還展示了 第二型氫氣水合物（Hydrogen Clathrate Type II） 的串珠模型。這個模型比第一型結構更為複雜，具有更大的籠狀單元，展現了水分子如何透過幾何排列來形成穩定的氣體捕獲結構。

第二型氫氣水合物的結構特性

第二型氫氣水合物擁有更大的籠狀結構，能夠儲存較大體積的氣體分子。它的結構由兩種籠子組成：

• 小型 12 面體籠（Dodecahedral Cage, 5¹²）： 與 Type I 相同，由 12 個五邊形組成。
• 大型 16 面體籠（Hexakaidecahedral Cage, 5¹²6⁴）： 由 12 個五邊形和 4 個六邊形組成，體積更大。

   這種結構的特點是：

   
•   更適合捕捉較大分子的氣體（如丙烷）    
•   擁有更高的空間填充能力    
•   存在於極地與深海環境中，並被視為未來的潛在氫能儲存技術

串珠模型的創新價值

這個模型延續了金必耀教授的 串珠科學建模技術，以珠子代表水分子的碳氫鍵與氫鍵，使觀眾能夠：

   
• 直觀地看到 Type II 水合物的幾何結構    
• 分辨 不同籠子的形狀與排列方式    
• 了解 如何利用這種結構來儲存氫氣與其他氣體

這種藝術與科學結合的方法，不僅讓水合物的概念變得具體可感，還為材料科學與教育提供了新的視角。

晶籠水合物與未來能源

氫氣水合物的研究對 可再生能源技術 具有重大影響：

   
•  低溫高效氫氣儲存技術，有望取代目前高壓儲氫的方法    
•   可能用於未來的太空探索，如木星的衛星 歐羅巴（Europa），可能蘊藏大量水合物    
•   應用於工業氣體分離與碳捕獲技術，提高能源利用效率

串珠模型資訊

• 尺寸： 直徑約 25 公分
• 材料： 木珠、彈性繩
• 結構特點： 重現 Type II 水合物的複雜幾何排列

更多資訊

這種結構比 Type I 更適合儲存較大分子的氣體，如丙烷。詳細內容可參閱 Bridges 2018 展覽頁面。

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第一型氫氣水合物（Type I Hydrogen Clathrate）

在 2018 年 Bridges 數學藝術大會 上，金必耀與左家靜利用 串珠技術（Beading Techniques）構建了第一型氫氣水合物（Hydrogen Clathrate Type I） 的模型，將這種微觀結構以可視化的方式呈現出來。這項作品不僅是數學與藝術的結合，也讓我們能夠直觀理解水分子如何形成籠狀結構來包裹氫氣分子。

氫氣水合物是一種特殊的 籠狀水合物（Clathrate Hydrate），在高壓低溫環境下形成，由水分子透過氫鍵（Hydrogen Bonding） 排列成特定的籠狀結構，並在內部捕捉氫氣分子。第一型（Type I）水合物的結構由兩種類型的籠子組成：

• 小型 12 面體籠（Dodecahedral Cage, 5¹²）： 由 12 個五邊形組成，體積較小。
• 大型 14 面體籠（Tetrakaidecahedral Cage, 5¹²6²）： 由 12 個五邊形和 2 個六邊形組成，能容納較大分子。

串珠模型

• 尺寸： 直徑約 20 公分
• 材料： 木珠、彈性繩
• 結構特點： 以串珠方式重現水合物的氫鍵網絡

更多資訊

這種水合物在高壓低溫環境下穩定存在，被視為未來的氫氣儲存技術之一。詳細內容可參閱 Bridges 2018 展覽頁面。

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互鎖珠串模型的沸石 A 結構 (2022 Bridges 數學藝術展覽)

2022 Bridges Conference Art Exhibition: Interlocked Bead-Chain Model of Zeolite A Structure by Bih-Yaw Jin

該網頁展示了國立臺灣大學化學系教授 金必耀（Bih-Yaw Jin）在 2022 年 Bridges 數學藝術研討會上的作品。

金教授專注於利用創新的三維編織技術，使用 珠串 構建沸石等納米分子的球體堆積模型，展示了這些結構的複雜性和美感。

展出作品：「互鎖珠串模型的沸石 A 結構」

Interlocked Bead-Chain Model of Zeolite A Structure

• 尺寸：50 × 50 × 50 公分
• 材質：20 毫米木珠
• 製作年份：2019 年

沸石 A（Zeolite A），亦稱為 LTA，可以視為由立方體、截角八面體和截角立方八面體組成的空間填充鑲嵌結構，這也被稱為截角立方體蜂巢結構。

在此作品中，金教授採用新穎的三維編織方法，使用精心選擇的兩種不同長度的珠串構建了包含八個單位晶胞（2x2x2）的沸石 A 結構的球體堆積模型。每條珠串由預應力彈性繩串聯珠子組成。模型中的球形珠子代表氧陰離子，而位於四面體內部的較小陽離子則未在模型中顯示。這些作品展示了數學與藝術的融合，突顯了納米結構的美感與複雜性。

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Bitruncated cubic honeycomb 雙截立方蜂巢(2021 Bridges 數學藝術展覽)

2021 Bridges Conference Art Exhibition: Bead-Chain Woven Sodalite by Bih-Yaw Jin

該網頁展示了國立臺灣大學化學系教授 金必耀（Bih-Yaw Jin）在 2021 年 Bridges 數學藝術研討會上的作品。

金教授專注於利用創新的三維編織技術，使用 珠串 構建沸石等納米分子的球體堆積模型，展示了這些結構的複雜性和美感。

展出作品：「珠串編織方鈉石」

Bead-Chain Woven Sodalite

• 尺寸：30 × 30 × 30 公分
• 材質：2 公分木珠
• 製作年份：2019 年

方鈉石 結構可視為截角八面體的空間填充鑲嵌，亦稱為 雙截立方蜂巢 (bitruncated cubic honeycomb) 或 開爾文結構。 金教授的 珠串雕塑 作品可被視為一種廣義的 張力完整結構，由受壓的硬球組件和受拉的彈性繩組成。 這些作品展示了數學與藝術的融合，突顯了納米結構的美感與複雜性。

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Zeolite PKU-12

I made a bead model for the zeolite PKU-12 and gave it to the chemistry college of Peking University as a souvenir when I was invited to Beijing last November.

MEP (Melanophlogite, Weaire-Phelan structure, Clathrate type I)

This model is accepted for the JMM 2017. (Nov. 11, 2016)

Sodalite (Kelvin structure, or Bitruncated cubic honeycomb)

For more description of this model, see the page from the Bridge conference 2016. (Nov. 11, 2016)

Zeolite A (Cantitruncated cubic honeycomb)

For more description of this model, see the page from the Bridge conference 2016. (Nov. 11, 2016)

數學串珠-繽紛多彩的奈米結構與幾何 (Mathematical Beading – Kaleidoscopic structures and geometries in the nano world)

Chiachin and I wrote a paper entitled "數學串珠-繽紛多彩的奈米結構與幾何" (Mathematical Beading – Kaleidoscopic structures and geometries in the nano world) for the special issue on the connection between math and art in Science Study (科學研習), a local science magazine in Taiwan. Here is the first page.

The pdf file can be found here.

Two articles about the construction of gyroid- and diamond-type triply periodic minimal surfaces

I wrote two articles in Chinese for the Journal, Chemistry Education in Taiwan (臺灣化學教育) last year. The pdf files have just come out:
1. 左家靜, 莊宸, 金必耀, 大家一起做多孔螺旋與鑽石型三度週期最小曲面的串珠模型（上）─立體幾何介紹，2014 臺灣化學教育, 328-335.
2. 莊宸, 左家靜, 金必耀, 大家一起做多孔螺旋與鑽石型三度週期最小曲面的串珠模型（下）─實作，2014 臺灣化學教育, 336-344.
The title can be translated as "Application of mathematical beading to carbon nanomaterials - A hands-on, collaborative approach to gyroid- and diamond-type triply periodic minimal surfaces with beads, I and II", literally. I described a simple modular approach which was developed mainly by Chern Chuang for making gyroid- and diamond-type Triply Periodic Minimal Surfaces.

Another surface with negative Gaussian curvature

2015/4/4

Bead model of the Chen-Gackstatter surface of genus 1

I made a bead model which approximates the minimal surface, Chen-Gackstatter surface of genus 1, for the spring break.

Other Chen–Gackstatter surfaces can be made with mathematical beading, in principle!
2015/4/3

One more Truss model of perovskite (or fluorite/antifluorite) structure

I made another truss model of perovskite structure with octahedra constructed by yellow and blue bugle beads.

Octahedral diamond net

Truss model of perovskite (or fluorite/antifluorite) structure

Spinel structure

Truss models of cubic and hexagonal closest packings

I made two more bead models of two-layer cuboctahedron and twisted cuboctahedron (anticuboctahedron) to illustrate the vector equilibrium of Buckminster Fuller. Through these two models, the connection to the cubic and hexagonal closest packings can also be visualized more easily.