在 2015 年的 Bridges 會議中，金必耀與左家靜不僅展示了鈣鈦礦結構的精美模型，還呈現了另一組引人入勝的藝術作品——「Truss models of icosahedral complexes」（二十面體複合桁架模型）。這些模型以其獨特的結構和對非週期性有序結構的探索，再次展現了數學與藝術的優雅結合。
這個模型的尺寸為 12 x 12 x 12 厘米，同樣是在 2014 年 使用 空心玻璃珠 (Tubular glass beads) 製作而成。
什麼是二十面體複合體？又為何與準晶體相關？
二十面體 (icosahedron) 是一種具有 20 個三角形面、30 條邊和 12 個頂點 的柏拉圖立體。它擁有令人著迷的 五重旋轉對稱性。然而，這種五重對稱性與傳統晶體結構中常見的平移對稱性是不相容的，這意味著單獨的二十面體無法像傳統晶胞那樣在三維空間中進行週期性排列來形成晶體。
這就引出了準晶體 (quasiperiodic crystal)的概念。準晶體是一種有序但不具週期性的結構，其原因正是五重旋轉對稱性與平移對稱性之間的不相容性。準晶體雖然具有長程的有序性，但其原子排列並不呈現出像傳統晶體那樣的重複單元。
金必耀與左家靜的「Truss models of icosahedral complexes」正是對這種複雜概念的可視化嘗試。 這些模型可以被視為 有限的準晶體，是通過在 中心二十面體周圍添加足夠數量的四面體、八面體和五角雙錐體 而構建的。
更令人驚嘆的是，模型中 珠子的顏色被精心挑選，用於描繪具有二十面體對稱性的 四種不同的多面體：
- 二十面體 (icosahedron)：使用帶有螺旋圖案的珠子。
- 二十-十二面體 (icosidodecahedron)：使用白色珠子。
- 頻率為 2 的 Mackay 十二面體 (frequency-2 Mackay dodecahedron)：使用藍色珠子。
- 六十面體 (hexecontahedron)：使用紅色珠子。
這些模型的意義何在？
通過將這些不同的多面體以特定的方式組合在一起，金必耀與左家靜的作品生動地展現了構成類晶體的局部結構單元以及它們之間的複雜關係。使用空心管珠和桁架結構的方式，不僅使得模型輕巧且具有一定的剛性，更清晰地展示了這些幾何體的骨架和連接方式。
這件二十面體複合桁架模型不僅是美麗的藝術品，更是理解準晶體結構這一複雜科學概念的寶貴工具。它們將抽象的數學和物理原理轉化為具體的、可供觀賞和思考的藝術形式，激發我們對自然界中非週期性有序結構的好奇心。如同他們之前的作品一樣，金必耀與左家靜再次證明了 空心管珠是構建複雜多面體結構和探索深奧數學概念的理想媒介。
透過這些模型，我們得以一窺準晶體那既有序又非重複的奇特世界，並欣賞數學與藝術在探索物質結構本質時所展現的創造力。
欲了解更多關於 金必耀與左家靜在 2015 Bridges 會議上的作品，請訪問 Bih-Yaw Jin & Chia-Chin Tsoo | 2015 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries。
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