沸石 A 珠子模型

每年的 Bridges數學藝術會議(Bridges Conference) 是一個匯集了數學、藝術和科學愛好者的國際盛會。在 2016 年的會議上，由 Chia-Chin Tsoo 和 Bih-Yaw Jin 呈現了一系列令人印象深刻的數學藝術作品，其中就包括了精巧的 沸石A結構珠模型。

背景介紹：以珠飾探索沸石的結構

正如我們之前介紹的蘇打石結構珠模型一樣，Chia-Chin Tsoo 和 Bih-Yaw Jin 一直致力於使用數學珠飾技術來可視化複雜的化學和數學結構。他們特別關注於沸石這一類礦物，這些礦物以其多樣的結構和廣泛的應用而聞名。通過將抽象的原子排列轉化為具體的珠模型，藝術家們幫助我們更好地理解這些微觀世界的奧秘。

2016年Bridges會議展品：沸石A結構珠模型

在 2016 年的 Bridges 會議上，Chia-Chin Tsoo 和 Bih-Yaw Jin 展示了名為 Bead model of Zeolite A structure 的藝術作品。這個模型使用塑料珠製成，旨在展示沸石A的空間填充結構。

作品詳情

• 作品名稱： Bead model of Zeolite A structure
• 創作者： Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin
• 創作年份： 2015
• 尺寸： 18 x 18 x 18 厘米
• 材料： 10mm 塑料珠

沸石A的結構與方鈉石結構的關聯

根據藝術家的描述，沸石A的結構可以被視為由立方體、截角八面體和截角立方八面體在三維空間中填充而成的，這也稱為cantitruncated cubic honeycomb。與此相對的是，他們在同一次會議上展出的方鈉石結構則被認為是由截角八面體（truncated octahedra）空間填充而成的，也稱為bitruncated cubic honeycomb或開爾文結構（Kelvin structure）。

由此可見，雖然兩者都是沸石結構的模型，並且都涉及到截角八面體這一共同的幾何單元，但沸石A結構的構成更加複雜，還包含了立方體和截角立方八面體。這表明，即使是同一類型的礦物（沸石），其結構也可能存在顯著的多樣性，而通過珠模型這種可視化的方式，我們可以更清晰地理解這些差異。

與方鈉石模型類似，在沸石A的珠模型中，球形的塑料珠代表氧陰離子，而隱藏在四面體單元內部的較小陽離子則未被展示。

數學藝術的價值

沸石A結構珠模型 不僅是一件精美的藝術品，更是一個有力的教學工具。它將抽象的晶體學概念具象化，使得學習者可以通過觸摸和觀察來理解沸石A的複雜結構。這種數學與藝術的結合，展現了以創新方式傳播科學知識的潛力。

想要深入了解 2016 年 Bridges 會議上展出的更多數學藝術作品，請訪問 Bridges數學藝術會議官方網站。

• Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin | 2016 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries - Bead model of Zeolite A structure.

方鈉石串珠模型

每年的 Bridges數學藝術會議 (Bridges Conference) 提供了一個獨特的平台，讓數學家、藝術家以及對數學和藝術之間聯繫感興趣的人們聚集在一起。在 2016 年的會議上，Chia-Chin Tsoo 和 Bih-Yaw Jin 展出了一系列引人入勝的數學藝術作品，其中包括一個精美的 方鈉石結構串珠模型。

背景介紹：數學珠飾在化學結構可視化中的應用

利用珠飾來構建複雜的幾何和分子模型是 金必耀教授 及其合作者長期以來探索的一個領域。他們的研究表明，通過精巧的串珠技巧，可以將抽象的化學結構和數學概念轉化為具體的、具有藝術價值的模型。特別是對於那些難以通過傳統方式觀察和理解的結構，珠模型提供了一種直觀的可視化方法。

2016年Bridges會議展品：方鈉石結構串珠模型

在 2016 年的 Bridges 會議上，Chia-Chin Tsoo 和 Bih-Yaw Jin 展示了他們的作品 Bead model of Sodalite structure。這件作品是一個利用木珠製成的模型，旨在展示蘇打石這種礦物的晶體結構 。

作品詳情

• 作品名稱： Bead model of Sodalite structure
• 創作者： Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin
• 創作年份： 2015
• 尺寸： 20 x 20 x 20 厘米
• 材料： 17mm 木珠

方鈉石結構的概念

根據藝術家的描述，方鈉石結構可以被認為是由 截角八面體（truncated octahedra）在三維空間中均勻填充而成的。截角八面體，也被稱為雙截角立方蜂窩（bitruncated cubic honeycomb）或開爾文結構（Kelvin structure）。在這個珠模型中，球形的木珠代表氧陰離子；而隱藏在四面體單元內部較小的陽離子則沒有在模型中展示 。

在2016 年 Bridges 會議上的藝術家陳述中，Chia-Chin Tsoo 和 Bih-Yaw Jin 指出，沸石（Zeolite）是一類基於 TO4 四面體單元的鋁矽酸鹽礦物，其中 T 是鋁或矽陽離子，O 是氧陰離子，是 Peter Pearce 的最小庫存/最大多樣性系統的最佳範例 。他們認為，豐富多樣的沸石結構可以看作是由少數多面體構建單元（如截角八面體、棱柱和十二面體）組成的，而這些單元又是由頂點連接的四面體構成，氧陰離子位於這些四面體的頂點。他們展示了數學珠飾可以用於構建這些沸石結構的硬球開放堆積模型。

數學藝術的意義

這個 方鈉石結構珠模型 不僅是一個視覺上引人注目的藝術品，更是一個理解複雜晶體結構的有效工具。通過將抽象的科學概念轉化為可以觸摸和觀察的物理模型，它促進了我們對物質世界的幾何和結構的理解。這也體現了數學和藝術結合的力量，能夠以新穎的方式傳達科學知識。

要了解更多關於 2016 年 Bridges 會議以及其他精彩的數學藝術作品，請訪問 Bridges數學藝術會議官方網站。

參考文獻

• Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin | 2016 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries - Bead model of Sodalite structure.

碳納米管7₄結串珠模型

每年的 Bridges數學藝術會議 (Bridges Conference) 都是一個慶祝數學與藝術之間創意連結的盛會。在 2021 年的會議上，眾多藝術家展示了他們受數學啟發的精彩作品。其中一件引人注目的作品是由 何厚勳 創作的 Carbon nanotube 7₄ knot bead model。

背景介紹：數學串珠藝術

利用串珠來具象化複雜的數學結構和分子模型，是數學藝術領域中一種獨特且迷人的表現形式。這種方法不僅能夠將抽象的概念轉化為可觸摸的實物，也展現了藝術家在數學和手工藝方面的精湛技藝。尤其值得一提的是，台灣大學金必耀教授 的實驗室長期以來在利用串珠技術構建各種分子模型方面取得了豐碩的成果。

2021年Bridges會議展品：碳納米管7₄結串珠模型

在 2021 年的 Bridges 會議上，當時身為台灣大學化學系博士生的 何厚勳 展示了他的作品 Carbon nanotube 7₄ knot bead model 。這件作品以碳納米管為靈感，並呈現了一個複雜的數學結。

作品詳情

• 作品名稱： Carbon nanotube 7₄ knot bead model
• 創作者： 何厚勳 (Hou-Hsun Ho)
• 創作年份： 2021
• 尺寸： 10 x 15 x 3 厘米
• 材料： 3 毫米塑料珠子，魚線

設計概念

根據展覽資訊，這個串珠模型是對 7₄ 結（也稱為 **纏繞的心** 結）的高度對稱表示。他利用串珠和魚線，將抽象的數學概念——拓撲學中的結——轉化為一個具體的、可視化的藝術品。作品使用了黑白兩種顏色的珠子，增強了結的結構和清晰度。

何厚勳自2019年起便在金必耀教授的實驗室工作，並遵循一篇名為 "Constructing Bead Models of Smoothly Varying Carbon Nanotori with Constant Radii and Related Intersecting Structures" 的策略，設計了基於彎折碳納米管的各種離散空間曲線。這件 7₄ 結串珠模型正是將這種設計理念付諸實踐的一個例子。

數學藝術的啟示

Carbon nanotube 7₄ knot bead model 不僅是一件精美的藝術品，更是一個探索數學概念的有趣方式。通過觀察和理解這個模型的結構，我們可以更好地認識拓撲學中結的複雜性以及數學在描述和模擬分子結構中的作用。這件作品也體現了Bridges會議的精神，即促進數學、藝術和教育之間的交流與融合。

如果您想了解更多，請訪問 Bridges數學藝術會議官方網站。

© 2025 珠璣科學|Carbon nanotube 7₄ knot bead model

2021年Bridges會議上的藍白紅碳納米辮

每年的 Bridges數學藝術會議 (Bridges Conference) 是一個匯集數學家、藝術家和教育家的國際盛會，旨在探索數學與藝術之間的豐富聯繫。在 2021 年的會議上，展出了眾多令人印象深刻的數學藝術作品，其中包括由 何厚勳 創作的 Blue white red carbon nanobraid。

背景介紹：數學與串珠藝術

利用串珠來創造數學模型和藝術品是一種獨特的表現形式。這種方法不僅能將抽象的數學概念具體化，也展現了創作者的精湛手工藝和對數學原理的深刻理解。尤其值得關注的是，台灣大學金必耀教授 的實驗室在利用串珠技術構建分子模型和幾何結構方面有著豐富的經驗。

2021年Bridges會議展品：藍白紅碳納米辮

在 2021 年的 Bridges 會議上，當時為台灣大學化學系博士生的 何厚勳 展示了他的藝術作品 Blue white red carbon nanobraid。這件作品以鮮豔的藍、白、紅三色珠子構成，靈感來源於碳納米管的結構。

作品詳情

• 作品名稱： 藍白紅碳納米辮 Blue white red carbon nanobraid
• 創作者： 何厚勳 (Hou-Hsun Ho)
• 創作年份： 2020
• 尺寸： 2 x 15 x 1 厘米
• 材料： 3 毫米塑料珠子，魚線

設計概念

這個三股辮是通過編織三根預先成型的（剛性）線條製成的，這些線條是重複螺旋線段及其反轉單元而獲得的。這種設計方法展現了如何利用基本的幾何單元和編織技巧來創造出複雜的空間結構。

何厚勳 自 2019 年起便在金必耀教授的實驗室工作，在這次會議中他們一起提交一篇論文 "Constructing Bead Models of Smoothly Varying Carbon Nanotori with Constant Radii and Related Intersecting Structures"。這件藍白紅碳納米辮正是基於這篇論文的策略，將數學上的曲線概念轉化為具體的串珠藝術品。

數學藝術的意義

Blue white red carbon nanobraid 不僅以其鮮豔的色彩吸引眼球，更重要的是它體現了數學和藝術之間的創造性結合。通過這件作品，我們可以感受到數學的規律性和藝術的表現力如何相互融合，產生出獨特的審美價值。它也展示了利用簡單的材料和技巧，也能夠創造出複雜且引人深思的數學藝術品。

要了解更多關於2021年這件精彩的數學藝術作品，請訪問 2021 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries - Blue white red carbon nanobraid。

© 2025 珠璣科學|藍白紅碳納米辮

Beaded Metatrino Sculpture Based on Carbon Nanotube

此作品的作者何厚勳（Hou-Hsun Ho）為國立台灣大學化學系博士生，在材料科學、奈米技術與數學藝術領域具有豐富的研究與創作經驗。 他在金必耀教授的指導下，專注於探索拓撲學、對稱性及幾何學在複雜石墨烯結構中的應用， 並利用串珠建模技術將這些抽象數學概念轉化為具體可視的藝術作品。何厚勳的研究不僅具有理論價值，還有助於科學教育與數學美學的推廣。這件作品展示於 2024 年聯合數學會議（Joint Mathematics Meetings） 的 Bridges 數學藝術畫廊。 作品展示頁面： Bridges Math Art Gallery。

作品介紹

作品名稱： Beaded Metatrino Sculpture Based on Carbon Nanotube
尺寸： 15.0 x 15.0 x 15.0 cm
材料： 3 mm 塑膠珠、魚線
創作年份： 2022

Bathsheba Grossman 是現代數學雕塑的先驅之一，她的作品專注於拓撲結構與對稱群， 透過3D 列印技術，將抽象數學概念轉化為金屬或塑料雕塑。她的一個代表作品 Metatrino： 是一種基於八面體對稱群（Octahedral symmetry group）的複雜拓撲結構。

何厚勳的這件作品利用串珠與魚線來重現 Bathsheba Grossman 在 3D 列印雕塑中所表現的數學結構。 透過張力（Tension）與穩定性（Stability）的設計，他在宏觀尺度上模擬了奈米尺度的拓撲結構，使觀者能夠透過實體模型理解這些複雜的數學概念。

Beaded Metatrino Sculpture Based on Carbon Nanotube 是一件融合數學、科學與藝術的作品， 受到 Bathsheba Grossman 的影響，並展示了拓撲與對稱在數學藝術中的應用。何厚勳透過串珠建模技術， 使這些抽象的幾何結構變得可視化，進一步推動數學藝術的發展。

如果您對 2022 年 Bridges 會議上展出的其他數學藝術作品感興趣，可以訪問 Bridges數學藝術會議官方網站 了解更多 。

© 2025 珠璣科學|Beaded Metatrino Sculpture

2022年Bridges會議上的碳納米管Beaded Ora雕塑

一年一度的 Bridges數學藝術會議 (Bridges Conference) 匯集了數學家、藝術家和教育家，共同探索數學與藝術之間的迷人聯繫。在 2022 年的 Bridges 會議上，展出了眾多令人驚嘆的數學藝術作品，其中一件引人注目的作品便是由 何厚勳 創作的 Beaded Ora Sculpture Based on Carbon Nanotube。

背景介紹：數學與串珠藝術

利用串珠來表現複雜的分子結構和數學概念，是近年來在數學藝術領域中一個獨特的流派。這種方法不僅能將抽象的數學和化學結構轉化為具體的物理模型，更展現了手工藝與科學之美的融合。特別是 金必耀教授 及其團隊在利用串珠技術構建富勒烯、石墨烯以及其他具有複雜幾何結構的分子模型方面做出了許多開創性的工作。

2022年展覽作品：基於碳納米管的Beaded Ora雕塑

在 2022 年的 Bridges 會議上，身為台灣大學化學系博士生的 何厚勳 展出了他的作品 Beaded Ora Sculpture Based on Carbon Nanotube。這件作品的靈感來源於碳納米管，並受到了 Bathsheba Grossman 雕塑作品的啟發。

作品詳情

• 作品名稱： Beaded Ora Sculpture Based on Carbon Nanotube
• 創作者： 何厚勳 (Hou-Hsun Ho)
• 創作年份： 2022
• 尺寸： 8 x 7 x 8 厘米
• 材料： 3 毫米塑料珠子，魚線

設計理念

根據展覽資訊，這件 Beaded Ora 雕塑 是遵循論文 "Orderly Branched Tangles Based on Carbon Nanotube Inspired by Grossman’s Sculptures" 中概述的策略而構建的，該論文也發表在 2022 年的 Bridges 會議上 。這件假想的分子結構 "Ora" 是通過數學串珠技術實現的。

這表明，藝術家 何厚勳 的創作是將數學、化學與雕塑藝術相結合的一次嘗試。他不僅利用了碳納米管的幾何結構作為靈感，更借鑒了 Bathsheba Grossman 的雕塑理念，將其轉化為一個可以通過串珠技術實現的物理模型。

數學串珠的意義

像 Beaded Ora Sculpture Based on Carbon Nanotube 這樣的作品，不僅在視覺上引人入勝，更重要的是它們提供了一種理解複雜科學概念的新途徑。通過動手製作和觀察這些串珠模型，我們可以更直觀地認識碳納米管的結構特點以及數學在分子設計中的作用。同時，這也體現了數學藝術的魅力，它能夠將抽象的數學原理融入到具體的藝術創作中，激發人們對科學與藝術跨界融合的興趣。

如果您對 2022 年 Bridges 會議上展出的其他數學藝術作品感興趣，可以訪問 Bridges數學藝術會議官方網站 了解更多 。

© 2025 珠璣科學|Beaded Ora雕塑

Type I Clathrate (Weaire–Phelan)結構串珠模型

一年一度的Joint Mathematics Meetings (JMM) 不僅是數學家們交流最新研究成果的重要平台，其數學藝術展覽也同樣引人注目。在 **2017年的JMM會議** 上，一件名為 "**Bead model of Type I Clathrate (Weaire–Phelan) structure**"（Type I Clathrate (Weaire–Phelan)結構串珠模型）的藝術品，以其精巧的結構和深刻的科學內涵，吸引了參觀者的目光 。

背景介紹：籠狀化合物與Weaire–Phelan結構

為了更好地理解這件珠飾模型的意義，我們需要了解一些相關的科學概念：

• 籠狀水合物（Clathrate Hydrates）： 這是一種非化學計量的晶體化合物，由水分子和較小的客體分子（如甲烷）組成。在這些化合物中，客體分子或原子被捕獲在由氫鍵連接的水分子形成的周期性多面體籠中。
• Weaire–Phelan結構： 這是一種比之前最著名的開爾文結構（Kelvin structure）更能有效解決“開爾文問題”的結構。“開爾文問題”探討如何將三維空間劃分為具有相同體積的胞元，且總表面積最小。Weaire–Phelan結構與Type I Clathrate結構密切相關。
• Type I Clathrate結構： 這種晶體結構可以被認為是由 **十二面體** 和 **十四面體** 在三維空間中以 **1:2的比例** 密鋪而成。其中，十二面體形成體心立方排列，而十四面體填充剩餘的空間。

藝術品詳情：Bead model of Type I Clathrate (Weaire–Phelan) structure

Bead model of Type I Clathrate (Weaire–Phelan) structure

創作者：左家靜 (Chia-Chin Tsoo)與金必耀 (Bih-Yaw Jin)

• 尺寸： 20 x 20 x 20 厘米
• 材料： 木珠
• 創作年份： 2016

這件珠飾模型展示了 Type I Clathrate結構的硬球開放堆積模型。在模型中，球形的木珠代表氧原子的價電子對。較小的正氧原子核隱藏在四面體內部，在模型中並未展示 。

該模型通過串珠技術，清晰地展現了十二面體和十四面體如何在三維空間中堆積，形成Type I Clathrate的晶體結構。藝術家巧妙地利用木珠來模擬水分子的排列方式，以及客體分子被包封在這些多面體籠中的概念。

關於作者

• 左家靜 (Chia-Chin Tsoo):。
• 金必耀 (Bih-Yaw Jin): 是國立台灣大學化學系的教授，他長期以來一直對富勒烯和石墨烯等拓撲非平凡結構感興趣，並使用數學串珠的角編織技術來構建這些結構的魯棒模型。他還將串珠技術應用於構建任意sp2雜化石墨結構的近似三維曲面模型 。在本作品中，他與左家靜合作，探索了串珠技術在構建籠狀水合物模型方面的應用。

參考資料

• Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin | 2017 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries: #### Statement. Type I Clathrate (Weaire–Phelan)結構串珠模型

© 2025 珠璣科學|Type I Clathrate (Weaire–Phelan)結構串珠模型

Schwarz P 曲面的串珠模型

繼我們之前探討過的 Schwarz's D 與 Schoen G 曲面的串珠富勒烯模型之後，現在讓我們將注意力轉向一個由 莊宸與金必耀 協力製作的早期串珠模型。這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型 大約在2007 年左右完成，比他們之後於 2011 年完成的 Schoen G 曲面以及 2008 年完成的 Schwarz D 曲面模型還要早。您現在可以在下方看到這個模型的照片：

理解 Schwarz P 曲面

與 Schoen G 曲面和 Schwarz D 曲面類似，Schwarz P 曲面 是 三週期極小曲面 (Triply Periodic Minimal Surface, TPMS) 的一個經典例子。TPMS 是在三個方向上都具有週期性，並且在所有點上的平均曲率都為零的曲面，這意味著它們局部看起來像馬鞍形。這些曲面在數學、材料科學乃至生物學中都引起了極大的興趣。

以 Hermann Schwarz 命名的 P 曲面，其特點是具有立方對稱性。它將空間劃分為兩個全等的迷宮狀區域。其基本單元可以想像成一個立方體，相鄰面中心的點之間由彎曲的表面連接。

受到使用串珠技術構建數學結構的啟發，莊宸與金必耀 在大約 2008 年合作完成了這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型。由於 P 曲面的結構相對 單純，這使得它成為比結構更複雜的 D 曲面和 G 曲面更早完成的作品。這個模型使用了 與後續作品相同材質與大小的珠子，採用了與其他串珠數學雕塑類似的 角編織 方法。由 八個晶胞 組成的 2x2x2 結構，可以讓人們更具體地理解 P 曲面的週期性。

模型的意義

創建這樣的串珠模型具有多重意義。首先，它提供了一種 動手實踐的方式來可視化 一個複雜的數學概念。極小曲面的抽象性可能難以理解，而物理模型則可以讓人們更直觀地掌握其幾何和拓撲結構。其次，它突出了 數學與藝術的交叉，展示了數學原理如何激發出美觀而複雜的結構，就像 Bridges 展覽中探索的富勒烯模型一樣。這個早期的 P 曲面模型也為後續更複雜的 TPMS 串珠模型的創作奠定了基礎.

關於展覽歷史的說明

需要特別指出的是，這個 2x2x2 Schwarz P 曲面的串珠模型並未在 Bridges 會議或 Joint Mathematical Meetings 的數學藝術展覽中單獨展出。這篇博客文章旨在介紹這個早期合作完成的個人作品。

© 2025 珠璣科學 |Schwarz P 曲面的串珠模型

2013年Bridges會議展出的數學藝術品 C60⊗C60

Bridges會議是一個獨特的年度盛會，它匯集了數學、藝術、音樂、建築、教育和文化領域的人們。會議的藝術展覽部分尤其引人注目，展示了數學概念如何激發和融入藝術創作之中。在 **2013年的Bridges會議**上，一件名為 "**C60⊗C60**" 的藝術品以其巧妙的設計和深刻的數學意義吸引了參觀者的目光。

背景介紹：富勒烯與超富勒烯

在欣賞這件藝術品之前，我們需要了解一些關於 **富勒烯（Fullerene）** 和 **超富勒烯（Superfullerene）** 的背景知識：

• 富勒烯（Fullerene）： 富勒烯是一類完全由碳原子組成的籠狀分子，其中最著名的就是 **C60，又稱巴克球（Buckyball）**。C60分子具有足球狀結構，由20個六邊形和12個五邊形構成。
• 超富勒烯（Superfullerene）： 超富勒烯是一類假設的分子結構，其設計理念是將一個母體分子（A）的每個原子替換為一個巴克球（C60），並通過直的碳納米管保持母體分子的連接性，這種結構通常表示為 A⊗C60。

藝術品詳情：C60⊗C60

C60⊗C60

創作者：莊宸(Chern Chuang)

• 尺寸： 17 x 17 x 17 厘米
• 材料： 夜光3毫米珠子，魚線
• 創作年份： 2013

這件藝術品 "**C60⊗C60**" 正是 **將超富勒烯的概念應用於C60本身** 的一個直接例子。換句話說，它是一個以巴克球（C60）為母體分子，將其每個“原子”（即碳原子）替換為另一個巴克球（C60）所形成的更複雜結構。

根據描述，這個特定的例子可以被視為一個 **第二層的Sierpiński結構** 。Sierpiński結構是一種分形，通過不斷地自我複製和縮小產生複雜的圖案。將這個概念應用於富勒烯，創造出層層疊加的結構，展示了數學中迭代和自相似性的思想。

這件 "**C60⊗C60**" 模型包含 **4680個碳原子**，這相當於 **7020個珠子** 。作者使用了夜光3毫米珠子和魚線來構建這個精細的結構。

值得注意的是，莊宸與金必耀一起參與2013年於聖地亞哥舉行的JMM（Joint Mathematics Meetings）藝術展覽，金必耀展示過一個密切相關的結構，即 **C4500超富勒烯**，莊宸從這個結構所啟發，進而設計出此C60⊗C60。

通過使用串珠這種物理媒介來呈現複雜的分子結構，"C60⊗C60" 不僅展現了數學和化學的幾何之美，也提供了一種直觀的方式來理解抽象的分子結構和數學概念。

關於作者

• 莊宸 (Chern Chuang): 目前是UNLV化學系教授，當年是麻省理工學院化學系研究生，他的嗜好包括使用zome幾何原理構建複雜的串珠結構分子模型，尤其對超富勒烯等假想分子感興趣。

參考資料

• Chern Chuang | 2013 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries: #### Statement. https://www.bridgesmathart.org/2013/exhibitions/gallery/chern-chuang/

© 2025 珠璣科學|C60⊗C60

2013年Bridges會議展出的超十二面體與V形連接⊗C80

Bridges會議是一個連接數學、藝術、音樂、建築等領域的國際會議。其數學藝術展覽部分是獨一無二的平台，展示了數學概念如何激發藝術創作。在 **2013年的Bridges會議**上，一件名為 "**Superdodecahedron with V-shaped Connections⊗C80**"（帶V形連接的超十二面體⊗C80）的藝術品，以其複雜的結構和巧妙的設計，引人入勝。

背景介紹：十二面體、Zome幾何與超富勒烯

為了更好地理解這件藝術品，我們需要簡要介紹以下概念：

• 十二面體（Dodecahedron）： 一種由十二個正五邊形組成的正多面體，具有20個頂點和30條邊。
• Zome幾何： 一種基於一組彩色連接件（節點）和支桿（struts）的建構系統，可以用於創建各種幾何結構。Zometool以其能夠表現複雜的對稱性和空間關係而聞名。
• 超富勒烯（Superfullerene）： 一類假想的分子，其構建方式是將一個母體分子（A）的每個原子替換為一個富勒烯分子（通常是C60），並通過連接這些富勒烯分子的碳納米管來保持原有的連接性，表示為 A⊗C60。

藝術品詳情：Superdodecahedron with V-shaped Connections⊗C80

Superdodecahedron with V-shaped Connections⊗C80

創作者：**莊宸(Chern Chuang)**

• 尺寸： 43 x 41 x 37 厘米
• 材料： 6毫米塑料珠子，魚線
• 創作年份： 2013

這件名為 "**Superdodecahedron with V-shaped Connections⊗C80**" 的藝術品，是基於 **zome幾何的十二面體模型** 進行改造的 。具體來說，作者 **將一個zometool十二面體模型中的每個藍色支桿替換為兩個通過一個額外小球連接的黃色支桿**。

由於在同一個球上連接的三個黃色支桿過於接近，為了使結構能夠順利搭建，作者 **使用了C80而不是C60**。C80是第二小的符合獨立五邊形規則的二十面體富勒烯。獨立五邊形規則是富勒烯結構穩定性的一個重要因素。

除了十二面體的 **20個頂點** 之外，這個結構還增加了 **30個作為連接器的頂點**。因此，這個結構總共包含 **4960個碳原子**，相當於 **7440個珠子**。

這個作品巧妙地利用了 **zome幾何的特性**，即C60和zometool的球都具有 **二十面體對稱性**，並且連接球的支桿總是沿著球的某些共同的對稱軸排列。這種設計思路有助於簡化構建複雜超分子結構的任務，並使其具有 **最小的應變能** 。作者在創作中特別關注一類稱為 **超富勒烯的假設分子**，並探索如何使用珠飾模型和zome幾何的原理來構建這些複雜的結構。

通過將抽象的數學和化學概念轉化為具體的藝術品，"Superdodecahedron with V-shaped Connections⊗C80" 不僅展示了數學的幾何之美，也體現了藝術家在探索複雜結構和對稱性方面的創造力。

關於作者

• 莊宸 (Chern Chuang): 目前是UNLV化學系教授，當年是麻省理工學院化學系研究生，他的嗜好包括使用zome幾何原理構建複雜的串珠結構分子模型，尤其對超富勒烯等假想分子感興趣。

參考資料

• Chern Chuang | 2013 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries: #### Statement. https://www.bridgesmathart.org/2013/exhibitions/gallery/chern-chuang/

© 2025 珠璣科學|超十二面體與V形連接⊗C80

舍恩 G 曲面富勒烯串珠模型

賞析：

本次我們將聚焦於一件曾在 2012 年 Joint Mathematics Meetings 上展出的引人入勝的數學藝術作品：舍恩 G 曲面富勒烯串珠模型 (Beaded Fullerene of Schoen's G Surface)。這件藝術品是由 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 共同創作。

作品詳情

• 作品名稱：舍恩 G 曲面富勒烯珠飾模型 (Beaded Fullerene of Schoen's G Surface)
• 創作者：Chern Chuang, Bih-Yaw Jin, Wei-Chi Wei
• 展出年份：2012 Joint Mathematics Meetings
• 創作年份：2011 年
• 尺寸：18.5cm x 18.5 cm x 20cm
• 材料：刻面塑膠珠和魚線 (Faceted plastic beads and fish thread)

結構特色與概念

這件精美的珠飾模型展現了 Schoen's G 曲面 的富勒烯結構。根據作者們的陳述，他們作為化學家，對由石墨碳構成的 富勒烯 分子及其相應的珠飾模型之間的關聯性抱有濃厚的興趣，因為分子的幾何形狀極大地影響其功能。

他們認為，富勒烯分子 非常適合用於製作珠飾模型，並且最終的模型不僅忠實地再現了分子結構，還具有藝術上的吸引力。本次展出的兩個珠飾分子模型之一便是舍恩的 G 曲面，另一件是施瓦茲的 D 曲面，兩者皆為經典的 三週期極小曲面 (Triply Periodic Minimal Surfaces, TPMS)。

作者們通過在規則的六邊形蜂窩結構中巧妙地插入 八邊形，並在所有三個維度上引入週期性邊界條件，從而獲得了這些 TPMS 的富勒烯對應物。在這些珠飾模型中，八邊形由彩色珠子表示，而六邊形則為白色。

特別地，舍恩的 G 曲面 被認為是最難以捉摸的嵌入式 TPMS 之一，然而它卻廣泛存在於生物和材料科學中。如同 P 曲面和 D 曲面可以分別分解為相互連接的懸鏈線和螺旋面單元一樣，G 曲面可以被視為是連接的螺旋面，它們處於懸鏈線-螺旋面等距變形的中間狀態 。這個珠飾的螺線包含 16 個這樣的單元，每個單元的長度為兩個平移單元。模型中，作者使用了三種不同的顏色來表示八元環，因為這些環可以根據其面法線進行分類。在通常的右手笛卡爾坐標系中，面法線沿 x 軸的八元環用紫色珠子表示，而沿 y 軸和 z 軸的則分別用藍色和綠色表示。

背景介紹

富勒烯是由碳原子組成的閉合籠狀或管狀分子。最著名的富勒烯是 C60，又稱巴克球，具有足球狀的結構。富勒烯因其獨特的幾何和電子性質而在化學、材料科學和納米技術等領域引起了廣泛的關注。

三週期極小曲面 (TPMS) 是在三個方向上都具有週期性的極小曲面。極小曲面是指其平均曲率處處為零的曲面，在局部上具有類似鞍形的形狀。TPMS 在數學、材料科學（如液晶和嵌段共聚物的微觀結構）以及生物學中都有廣泛的應用。

舍恩 G 曲面 是一種複雜且重要的 TPMS，因其在自然界和材料科學中的普遍存在而備受關注。其獨特的幾何特性使其成為研究界面現象和週期性結構的理想模型。

網站連結

您可以在 Bridges Organization 的網站上找到更多關於 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 的藝術作品：

• The Bridges Organization
• Chern Chuang, Bih-Yaw Jin, Wei-Chi Wei | 2012 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries

© 2025 珠璣科學|舍恩 G 曲面富勒烯串珠模型

施瓦茲 D 曲面富勒烯串珠模型

我們將帶您一同欣賞一件曾在 2012 年 Joint Mathematics Meetings 上展出的精彩數學藝術作品：施瓦茲 D 曲面富勒烯珠飾模型 (Beaded Fullerene of Schwarz's D Surface)。這件作品由 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 共同創作。

作品詳情

• 作品名稱：施瓦茲 D 曲面富勒烯珠飾模型 (Beaded Fullerene of Schwarz's D Surface) [16]
• 創作者：Chern Chuang, Bih-Yaw Jin, Wei-Chi Wei
• 展出年份：2012 Joint Mathematics Meetings
• 創作年份：2008 年
• 尺寸：23cm x 21cm x 18 cm
• 材料：刻面塑膠珠和魚線 (Faceted plastic beads and fish thread)

結構特色與概念

這件珠飾模型呈現的是 Schwarz's D 曲面 的富勒烯結構。在他們的藝術家聲明中，作者們提到幾何是化學的重要組成部分，分子的功能很大程度上取決於其幾何形狀。作為化學家，他們對一類分子——由石墨碳組成的富勒烯及其珠飾模型之間的聯繫感興趣。

富勒烯分子特別適合製作珠飾模型，並且由此產生的模型既忠實地呈現了分子本身，又具有藝術吸引力。這件作品是兩個以珠飾呈現的分子之一，它們對應於經典的三週期極小曲面 (Triply Periodic Minimal Surfaces, TPMS)，即施瓦茲的 D 曲面和舍恩的 G 曲面。

作者們通過在規則的六邊形蜂窩中適當插入八邊形並在三個維度上引入週期性邊界條件，獲得了 TPMS 的富勒烯對應物。在這些珠飾模型中，八邊形用彩色珠子表示，而六邊形是白色的 。

具體到施瓦茲 D 曲面，它是 P 曲面的共軛曲面。為了避免不連接的部分，作者選擇以四面體形式構建這個曲面。與 P 曲面不同，D 曲面包含沿 C2 軸排列的兩種相反手性的螺旋面單元 (helicoid units) 。模型中的八邊形環由綠色珠子表示。

背景介紹

富勒烯是由碳原子組成的閉合籠狀或管狀分子。最著名的富勒烯是 C60，又稱巴克球，具有足球狀的結構。富勒烯因其獨特的幾何和電子性質而在化學、材料科學和納米技術等領域引起了廣泛的關注。

三週期極小曲面 (TPMS) 是在三個方向上都具有週期性的極小曲面。極小曲面是指其平均曲率處處為零的曲面，在局部上具有類似鞍形的形狀。TPMS 在數學、材料科學（如液晶和嵌段共聚物的微觀結構）以及生物學中都有廣泛的應用。

施瓦茲 D 曲面和 P 曲面是兩種著名的 TPMS。它們之間存在數學上的共軛關係。這些曲面可以通過其拓撲結構和對稱性來描述。

網站連結

您可以在 Bridges Organization 的網站上找到更多關於 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 的藝術作品：

• The Bridges Organization
• Chern Chuang, Bih-Yaw Jin, Wei-Chi Wei | 2012 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries

© 2025 珠璣科學|施瓦茲 D 曲面富勒烯串珠模型

雙曲巴克球P曲面嵌入珠飾模型

Bridges會議是一個享譽國際的年度盛會，它巧妙地連接了數學、藝術、音樂、建築等多個領域。每年的數學藝術展覽都是會議的一大亮點，展示了藝術家們如何將深奧的數學概念轉化為引人入勝的視覺作品。在 **2018年的Bridges會議**上，一件名為 "**Bead model for the hyperbolic buckyball embedded in a P-surface**"（嵌入P曲面的雙曲巴克球珠飾模型）的藝術品，以其獨特的幾何形態和精湛的製作工藝，吸引了眾多與會者的目光。

背景介紹：最小曲面與雙曲幾何

為了更好地理解這件藝術品，我們需要了解以下幾個關鍵概念：

• 最小曲面（Minimal Surface）： 指的是在給定邊界條件下，具有最小表面積的曲面。P-曲面是一種重要的三週期極小曲面（Triply Periodic Minimal Surface, TPMS）。
• 巴克球（Buckyball）： 又稱足球烯，最著名的例子是C60，是一種由60個碳原子組成的球狀富勒烯分子。
• 雙曲幾何（Hyperbolic Geometry）： 一種非歐幾里得幾何，其曲率為負。在雙曲幾何中，三角形的內角和小於180度。
• 雙曲巴克球（Hyperbolic Soccerball）： 與球形的巴克球類似，但具有雙曲的結構，通常包含七邊形而不是五邊形。

藝術品詳情：Bead model for the hyperbolic buckyball embedded in a P-surface

Bead model for the hyperbolic buckyball embedded in a P-surface

創作者：劉采容 Liu (Tsai-Jung Liu)與金必耀 (Bih-Yaw Jin)

• 尺寸： 18 x 18 x 18 厘米
• 材料： 6毫米塑料珠子
• 創作年份： 2018

這件珠飾模型生動地展現了一個 **嵌入在P型三週期極小曲面中的雙曲巴克球**。與常見的巴克球C60不同，雙曲巴克球是一種具有負曲率的石墨結構，其特點是包含七邊形。

在這個模型中，**藍色的珠子代表七邊形**，每個七邊形都被七個相鄰的七邊形隔開，可以用 **向量 (1,1)** 來表示 。分隔相鄰七邊形的 **單個碳-碳鍵** 則由 **粉色的珠子** 來表示 。通過這種方式，藝術家巧妙地利用不同顏色的珠子，清晰地呈現了雙曲巴克球的結構特徵。

根據藝術家的闡述，這個雙曲巴克球是通過對之前的 **全七邊形網絡** 進行 **跳蛙變換（leap-frog transformation）** 得到的。一次跳蛙變換後，單元晶胞中的碳原子數量增加到 **168個** 。

與 Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface 的關聯

這件雙曲巴克球的珠飾模型與同年（2018年）在Bridges會議上展出的另一件作品 "**Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface**"（嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠飾模型）有著密切的聯繫。

• **共同的基礎結構：** 兩件作品都以 **P型三週期極小曲面** 作為嵌入的基礎。P-曲面提供了一個具有複雜拓撲結構的空間，用於展示這些非同尋常的碳結構。
• **七邊形的重要性：** 兩者都涉及到 **七邊形**。克萊因全七邊形網絡完全由七邊形構成，而雙曲巴克球的特徵也在於包含七邊形。
• **變換關係：** 最關鍵的聯繫在於，雙曲巴克球模型是通過對克萊因全七邊形網絡進行 **跳蛙變換** 得到的。這意味著後者可以被視為前者的“前身”或基礎結構。跳蛙變換是一種特定的幾何操作，導致了碳原子數量的增加和結構的改變。

因此，這兩件藝術品共同展示了從一個全七邊形網絡通過數學變換到一個更複雜的雙曲富勒烯結構的過程，凸顯了數學在理解和創造新的碳同素異形體方面的作用。

關於作者

• 劉采容 (Tsai-Jung Liu): 。
• 金必耀 (Bih-Yaw Jin): 是國立台灣大學化學系的教授，長期以來一直致力於運用串珠技術來構建各種數學和化學結構的物理模型。他的研究興趣涵蓋了富勒烯、石墨烯等碳材料的幾何結構。

「嵌入P曲面的雙曲足球烯珠子模型」不僅是一件視覺上引人入勝的藝術品，更是對複雜幾何和化學概念的深刻探索。通過與「嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠子模型」的比較，我們可以更清晰地理解結構之間的演變關係以及數學變換在分子結構設計中的作用。金必耀教授和劉采容 再次向我們展示了數學、科學與藝術之間令人驚嘆的橋樑。欲了解更多關於他們的精彩工作，請訪問 Bridges 數學藝術畫廊。

© 2025 珠璣科學 |雙曲巴克球P曲面嵌入串珠模型

克萊因全七邊形網絡P曲面嵌入串珠模型

Bridges會議是一個獨特的國際盛會，匯集了數學、藝術、音樂、建築等多元領域的參與者。其數學藝術展覽是會議的重要組成部分，展示了數學概念與藝術創作的精妙結合。在2018年的Bridges會議上，一件名為 "Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface"（嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠飾模型）的藝術品，以其複雜的幾何結構和視覺呈現，吸引了眾多目光。

背景介紹：最小曲面與富勒烯

在深入了解這件藝術品之前，我們需要對以下概念有所了解：

• 最小曲面（Minimal Surface）： 在給定邊界下，具有最小表面積的曲面。P-曲面是一種三週期極小曲面（Triply Periodic Minimal Surface, TPMS）。
• 富勒烯（Fullerene）： 一類由碳原子組成的籠狀分子，例如著名的巴克球C60。藝術家們也對具有非球形結構的假設富勒烯進行了探索。
• 克萊因全七邊形網絡（Klein’s all-heptagon network）： 一種僅由七邊形組成的週期性圖形結構。

藝術品詳情：Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface

Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface

創作者：劉采容 (Tsai-Jung Liu)與金必耀 (Bih-Yaw Jin)

• 尺寸： 16 x 16 x 16 厘米
• 材料： 8毫米塑料珠子
• 創作年份： 2015

這件雕塑作品呈現了一個 **嵌入在虧格為3的P型三週期極小曲面中的克萊因全七邊形網絡的物理模型**。這個網絡可以通過 **Goldberg向量 (1,0)** 來指定，其中每個七邊形都被七個相鄰的七邊形所環繞。

在結構的單元晶胞中，包含了 **56個碳原子**，**84條邊** 和 **24個面**。藝術家們使用 **8毫米的塑料珠子** 來精確地呈現這一複雜的幾何結構。

根據藝術家的闡述，在化學領域，串珠模型中珠子之間的硬球排斥可以顯著地模擬富勒烯（一種球狀純碳分子）的分子形狀 。此前，在2016年的聯合數學會議（Joint Mathematical Meeting）藝術展覽上，畢耀明和鄒嘉勤曾展出過與嵌入在類金剛石最小曲面中的假設負曲率富勒烯相關的珠飾模型。而本次展出的作品則展示了嵌入在P型最小曲面上的兩種sp2碳同素異形體，它們由七邊形和六邊形構成。

這件作品不僅在視覺上引人入勝，更體現了數學、化學與藝術之間的深刻聯繫，通過具體的物理模型幫助人們理解抽象的幾何概念和分子結構。

關於作者

• 劉采容 (Tsai-Jung Liu):。
• 金必耀 (Bih-Yaw Jin): 國立台灣大學化學系教授，長期致力於使用串珠技術構建各種數學和化學結構的模型。

「嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠子模型」是數學、科學和藝術之間深刻聯繫的一個傑出範例。它不僅展示了製作者高超的珠飾技巧，也體現了他們對複雜幾何結構的深刻理解。如果您對這個作品或其他數學藝術作品感興趣，請務必訪問 Bridges 數學藝術畫廊 以獲取更多資訊。

© 2025 珠璣科學 |嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡

2013年聯合數學會議展出的串珠希爾伯特曲線（第二步）

聯合數學會議（Joint Mathematics Meetings, JMM）匯集了全球眾多的數學家和數學愛好者。除了學術報告和研討會，會議的數學藝術展覽也提供了一個獨特的視角，展現數學概念的藝術表達。在 **2013 年的聯合數學會議**上，一件名為 "**Beaded Hilbert Curve, Step Two**"（串珠希爾伯特曲線，第二步）的藝術作品，以其精巧的工藝和深刻的數學內涵，吸引了參觀者的目光。

背景介紹：希爾伯特曲線與空間填充曲線

在深入了解這件藝術品之前，我們先簡單介紹一下 **希爾伯特曲線（Hilbert Curve）** 和 **空間填充曲線（Space-filling Curve）** 的概念。

• 空間填充曲線： 空間填充曲線是一類非常有趣的數學曲線，它們能夠填滿一個給定的二維或更高維度的空間中的每一個點。儘管它們本質上是一維的線，但通過無限的迭代，它們可以變得稠密地遍布整個區域或體積。
• 希爾伯特曲線： 希爾伯特曲線是空間填充曲線的一個經典例子。它以德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）的名字命名。希爾伯特曲線具有重要的局部性保持特性，這使得它在計算機科學領域有廣泛的應用，例如數據庫索引和圖像處理。

藝術品詳情：Beaded Hilbert Curve, Step Two

Beaded Hilbert Curve, Step Two

創作者：**莊宸 (Chern Chuang)**，**金必耀 (Bih-Yaw Jin)**，**左家靜 (Chia-Chin Tsoo)**

• 尺寸： 12 厘米 x 12 厘米 x 12 厘米
• 材料： 雙層塑料珠子和魚線
• 創作年份： 2012

這件名為 "**Beaded Hilbert Curve, Step Two**" 的藝術品，正是 **三維希爾伯特曲線的第二步迭代** 的串珠模型。它由 **127 個串珠立方體** 組成。

作者們展示了 **直角編織（right-angled weaving）的串珠技術** 可以有效地用於構建這些空間填充曲線的模型。這種技術提供了一種可靠的方式來創造三維物體，只要有適當的結構設計。

儘管這個結構的 **連接性較弱**，因為每個線段本質上只與它的兩個鄰居相連（相比之下，簡單的立方晶格有六個連接），但這個物理模型的 **機械穩定性卻相當強**。這一點突顯了串珠作為一種系統化工具的潛力，可以用於理解和創造數學圖形，其特點是 **動手操作和順序構造的方案**。

這件藝術品不僅在視覺上引人入勝，更重要的是，它以一種具體的方式呈現了抽象的數學概念，使人們能夠更直觀地理解希爾伯特曲線的特性。

關於作者

• 莊宸(Chern Chuang): 當時麻省理工學院化學系研究生，對分子結構的珠飾模型有深入研究。
• 金必耀 (Bih-Yaw Jin): 國立台灣大學化學系教授，長期以來致力於探索數學與藝術的結合，並將串珠技術應用於化學和數學結構的可視化。
• 左家靜 (Chia-Chin Tsoo): 與金必耀教授在多個數學藝術項目中合作。

參考資料

• Chern Chuang, Bih-Yaw Jin and Chia-Chin Tsoo | 2013 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries: #### Statement. Beaded Hilbert Curve, Step Two

© 2025 珠璣科學

虧格31的超級巴克球 Super Buckyball of Genus 31

聯合數學會議（Joint Mathematics Meetings, JMM）是世界上最大的數學學術會議之一，除了數學研究的交流，會議的藝術展覽也提供了一個獨特的平台，展示數學與藝術之間的奇妙聯繫。在 **2013 年的聯合數學會議**上，一件名為 "**Super Buckyball of Genus 31**" 的藝術品吸引了眾多目光。

背景介紹：富勒烯與拓撲虧格

在欣賞這件藝術品之前，我們先簡單了解一下相關的背景知識：

• 富勒烯（Fullerene）： 富勒烯是一類完全由碳原子組成的中空的球狀、橢球狀、或管狀分子。最著名的富勒烯是 **C60，又稱足球烯或巴克球（Buckyball）**，其結構與足球相似，由 20 個六邊形和 12 個五邊形構成。
• 拓撲虧格（Genus）： 在拓撲學中，一個曲面的虧格是指它包含的“洞”的數量。例如，一個球面（如普通的巴克球）的虧格為 0，而一個環面（如甜甜圈）的虧格為 1。**Genus 31** 意味著這個結構在拓撲上相當複雜，擁有 31 個“洞”。

藝術品詳情：Super Buckyball of Genus 31

Super Buckyball of Genus 31

創作者：**金必耀 (Bih-Yaw Jin) 及台北第一女子高級中學的師生**

• 尺寸： 20 英寸 x 20 英寸 x 20 英寸（約 60 厘米 x 60 厘米 x 60 厘米）
• 材料： 塑料珠子
• 創作年份： 2011

這件 "**Super Buckyball of Genus 31**" 是一個使用塑料珠子製作的大型多面體模型。它並非一個普通的巴克球（Genus 0），而是一個 **虧格為 31 的超級巴克球**。

這個模型的每一個頂點本身都是一個帶有三個孔的巴克球，並且通過三個最短的碳納米管連接到三個相鄰的頂點。

另一種理解這個結構的方式是將其視為第二層的 Sierpinski 巴克球，並且這種結構可以無限擴展。Sierpinski 結構是一種分形，通過不斷地自我複製和縮小形成複雜的圖案。將 Sierpinski 的概念應用於巴克球，創造出更複雜、更高虧格的結構，體現了數學中迭代和自相似性的思想。

這件藝術品是由金必耀教授與台北第一女子高級中學的師生於2011 年 11 月共同製作完成的。這也展現了數學和科學概念在教育和公眾推廣中的藝術表達。

通過將抽象的數學概念（如拓撲虧格和分形）與具體的物理模型相結合，"Super Buckyball of Genus 31" 不僅是一件引人注目的藝術品，也是探索複雜幾何結構的一種有趣方式。

參考資料

• Bih-Yaw Jin | 2013 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries: #### Artworks ##### Super Buckyball of Genus 31. 2013 Joint Mathematics Meetings Bih-Yaw Jin

© 2025 珠璣科學｜Super Buckyball of Genus 31

雙曲足球烯串珠模型

我們很高興向大家介紹另一件由化學家 Chia-Chin Tsoo 與 Bih-Yaw Jin 創作的迷人數學藝術作品：雙曲足球珠飾模型 (Hyperbolic soccerball)。這件作品與「克萊因全七邊形網絡珠飾模型」一同在 2016 年的 Joint Mathematics Meetings 上展出。

作品詳情

• 作品名稱：雙曲足球珠飾模型 (Hyperbolic soccerball)
• 創作者：Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin
• 展出年份：2016 Joint Mathematics Meetings
• 創作年份：2014 年
• 尺寸：16 x 16 x 16 公分
• 材料：6 毫米塑膠珠

結構特色與概念

這個珠飾模型呈現了一個被稱為雙曲足球 (hyperbolic soccerball) 或 D168 施瓦茲體 (D168 Schwarzite) 的雙曲石墨結構。正如普通的巴克球（分子足球 C60）是一種球形富勒烯分子，其中兩個相鄰的五邊形被單個碳-碳鍵隔開一樣，雙曲足球是一種雙曲石墨結構，其中兩個相鄰的七邊形也被單個碳-碳鍵隔開。

藝術家們運用角織 (angle-weave) 技術，僅使用珠子和線繩，建構出這個近似 3D 曲面的穩固模型。他們對拓撲上非平凡的結構感興趣，其靈感來自於富勒烯和石墨烯。

拓撲背景

如同我們在介紹「克萊因全七邊形網絡珠飾模型」時提到的，虧格 (Genus) 是描述曲面「洞」的數量。雙曲足球作為一種雙曲結構，也具有一樣的虧格。然而，它與具有負曲率的曲面相關聯。

負曲率是指曲面上不同方向的彎曲程度不同，導致局部呈現類似馬鞍的形狀。包含非六邊形環（如七邊形）的石墨結構通常會展現負曲率，這是因為為了容納這些較大的環，結構必須向外彎曲。

與 克萊因全七邊形網絡串珠模型的關聯

來源指出，雙曲足球與 D56 施瓦茲體結構（即克萊因全七邊形網絡所近似的結構）之間存在關聯。具體來說，雙曲足球（D168 施瓦茲體）是通過對 D56 施瓦茲體結構進行跳蛙變換 (leapfrog transformation) 得到的，這個變換包括全冠 (omnicapping) 接著一個對偶化 (dualization)操作。

這意味著這兩個珠飾模型都代表了具有負曲率的週期性石墨結構，並且它們之間存在明確的拓撲和幾何轉換關係。克萊因全七邊形網絡完全由七邊形構成，而雙曲足球則是以類似足球烯的方式排列七邊形，相鄰的七邊形被單個碳-碳鍵隔開。

網站連結

您可以在 Bridges Organization 的網站上找到更多關於 Bih-Yaw Jin 教授及其合作者的藝術作品：

• The Bridges Organization
• Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin | 2016 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries

© 2025 珠璣科學 |雙曲足球烯串珠模型

克萊因全七邊形網絡串珠模型 Bead model of Klein's all-heptagon network

我們在此向大家介紹一件引人入勝的數學藝術作品：克萊因全七邊形網絡珠飾模型 (Bead model of Klein's all-heptagon network)。這件作品由化學家 金必耀與左家靜 共同創作，並於 2016 年的 Joint Mathematics Meetings 上展出。

作品詳情

• 作品名稱：克萊因全七邊形網絡珠飾模型 (Bead model of Klein's all-heptagon network) [2]
• 創作者：金必耀與左家靜
• 展出年份：2016 Joint Mathematics Meetings
• 創作年份：2014 年
• 尺寸：24 x 24 x 24 公分
• 材料：8 毫米塑膠珠

結構特色與概念

這件珠飾模型呈現了一個週期性的石墨結構，近似於一個虧格 (genus) 為 3 的負曲率 D-曲面，表面裝飾著 Felix Klein 的全七邊形開放網絡。創作者指出，基於這種結構的假設性碳同素異形體可以被稱為 D56 原型施瓦茲體 (D56 protoschwarzite)，因為其晶胞中包含 24 個七邊形和 56 個碳原子 。

在他們的藝術家聲明中，左家靜與金必耀（台灣大學化學系）提到他們是對拓撲上非平凡的結構感興趣的化學家，其靈感來自於富勒烯和石墨烯。他們運用數學珠飾的角織 (angle-weave) 技術，僅使用珠子和線繩，就能夠建構出任意 sp2 雜化石墨結構的近似 3D 曲面之穩固模型。克萊因全七邊形網絡珠飾模型便是他們展示的兩件珠飾雕塑之一。

拓撲背景

為了更好地理解這個作品的拓撲意義，我們需要了解一些背景知識。虧格 (Genus) 是拓撲學中描述一個曲面具有多少個「洞」的數字。例如，一個球面（如足球）的虧格是 0，一個環面（如甜甜圈）的虧格是 1。這個珠飾模型所近似的 D-曲面每個晶胞具有虧格 3，意味著它在拓撲上相當於有三個「洞」的物體。

負曲率是指曲面上不同點的彎曲方向不同，例如馬鞍的形狀就具有負曲率。與正曲率（如球面的彎曲）和零曲率（如平面的平坦）相對。具有全七邊形網絡的石墨結構由於其非六邊形的環，往往呈現負曲率。

Felix Klein 的全七邊形網絡是一種特定的週期性表面結構，其特徵是完全由七邊形構成。這種網絡在數學和化學上都具有重要的研究價值，因為它可以作為構建具有特定拓撲性質的理論材料的基礎。

這個珠飾模型通過具體的物理形式，將抽象的拓撲概念和數學結構可視化，展現了數學與藝術之間的深刻聯繫。

與富勒烯和石墨烯的關聯

藝術家提到他們的靈感來自於富勒烯和石墨烯。富勒烯（最著名的例子是 C60 足球烯）是碳原子組成的球狀分子，而石墨烯是碳原子組成的單層蜂窩狀平面結構。這兩種物質都具有獨特的幾何和電子性質，激發了科學家和藝術家的廣泛興趣。克萊因全七邊形網絡可以被視為是探索新型碳同素異形體的一種理論模型。

網站連結

您可以在 Bridges Organization 的網站上找到更多關於 Bih-Yaw Jin 教授及其合作者的藝術作品：

• The Bridges Organization
• Chia-Chin Tsoo & Bih-Yaw Jin | 2016 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries

© 2025 珠璣科學 |克萊因全七邊形網絡

Beaded Entangled Cuboctahedron 珠飾纏繞的立方八面體

我們很高興為大家介紹一件新穎的數學藝術作品：珠飾纏繞的截角八面體 (Beaded Entangled Cuboctahedron) 。這件作品是由國立台灣大學的學生林軒霆、陳品希在金必耀教授開設的「分子美學」課程中創作的。

作品詳情

• 作品名稱：珠飾纏繞的截角八面體 (Beaded Entangled Cuboctahedron) [1]
• 創作者：林軒霆、何厚勳、陳品羲
• 創作年份：2022 年
• 尺寸：25.0 x 25.0 x 25.0 公分
• 材料：6 毫米塑膠珠、魚線

結構特色

這件藝術品的核心概念是利用八個由珠子串成的三角形管相互纏繞， 構成一個類似截角八面體的模型。在設計過程中，助教何厚勳提供的模擬模型對他們的創作非常有幫助。結構的穩定性和剛性完全依賴於這八個管子的存在。

為了實現管子自然的轉動，作者巧妙地在適當的位置加入了五邊形和七邊形，以創造正向和負向的曲率。此外，他們使用黑色和白色的珠子來增強整體結構的清晰度。

拓撲背景

為了更好地理解這個結構，讓我們簡單介紹一下截角八面體 (Cuboctahedron) 的拓撲性質。截角八面體是一種阿基米德立體，它有 14 個面，分別是 8 個等邊三角形和 6 個正方形。它有 12 個相同的頂點，每個頂點連接兩個三角形和兩個正方形。此外，它有 24 條邊，每條邊連接一個三角形和一個正方形。截角八面體可以看作是立方體或正八面體通過截去其所有頂點得到，直到每條邊的中點。它的對稱性很高，屬於正八面體群。

「纏繞」的意涵

這件作品被命名為「纏繞的立方八面體」，其「纏繞」的概念源於構成結構的八個三角形管的相互交織和連結。這種設計不僅賦予了作品獨特的視覺效果，也體現了結構的穩定性是如何通過這些管子的互相作用來實現的。策略性地加入五邊形和七邊形，使得這些「管子」能夠以一種看似自然的方式彎曲和連接，進一步強化了「纏繞」的感覺。

總而言之，「珠飾纏繞的截角八面體」不僅是一件視覺上引人入勝的藝術品，也巧妙地將幾何結構和手工藝技巧結合在一起。它展現了「分子美學」課程的理念，即將分子結構視為藝術品進行創作。

欲了解此作品，請訪問 2023 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries。

© 2025 珠璣科學 |珠飾纏繞的立方八面體

數學與藝術的交匯：基於三角多面體的可伸縮負泊松比拉脹（Auxetics）結構

Bridges 會議是一個獨特的年度盛會，匯集了數學、藝術、音樂、教育、文化等不同領域的學者和藝術家，共同探索數學與藝術之間的深刻聯繫。在 2023 年的 Bridges 會議藝術展覽上，一件名為“Extendable auxetic structure based on deltahedron made by stringing bugle beads”（基於三角多面體的弦式伸縮負泊松比結構）的作品引起了廣泛關注。

背景知識：負泊松比結構與三角多面體

在深入了解這件藝術品之前，我們需要簡要介紹兩個相關的概念：負泊松比結構（Auxetic Structure） 和 三角多面體（Deltahedron）。

• 負泊松比結構： 大多數材料在受到拉伸時，其垂直於拉伸方向的尺寸會縮小；反之，受到壓縮時則會膨脹。然而，負泊松比材料（也稱為膨脹材料）卻表現出相反的特性——當它們被拉伸時，垂直方向也會膨脹；當被壓縮時，垂直方向則會收縮。這種獨特的性質使得負泊松比結構在工程和材料科學領域具有廣闊的應用前景。
• 三角多面體： 三角多面體是指所有面都是等邊三角形的凸多面體。例如，正四面體、正八面體和正二十面體都是三角多面體。由於其結構的穩定性和幾何特性，三角多面體在數學和結構設計中扮演著重要的角色。

作品詳情：基於三角多面體的可伸縮負泊松比拉脹（Auxetics）結構

Extendable auxetic structure based on deltahedron made by stringing bugle beads

創作者：林嘉陽（Jiayang Lin），施宣光 (Shen-Guan Shih)，周昌裕(ChangYu Chou)，金必耀(Bih-Yaw Jin)

• 尺寸： 20.0 x 30.0 x 30.0 厘米
• 材料： 串珠（Bugle beads）和魚線
• 創作年份： 2023

這件作品的核心創新在於**利用串接的管狀珠子（bugle beads）來創造基於三角多面體的負泊松比結構，並且這種結構可以在水平和垂直方向上無限延伸**。

作者們的主要發現是，**通過串聯管狀珠子，可以實現基於三角多面體的負泊松比結構，並使其在水平和垂直方向上都能夠無限擴展** 。他們首先利用**正三角形的負泊松比平面構型**，然後將其映射到三維的三角多面體結構中。這個三維結構的構建是通過**結合使用四面體和八面體**來實現的。

作品的一個關鍵特性是，四面體和八面體在負泊松比結構的壓縮過程中能夠相互補充。由於這種互補性，當結構完全壓縮時，可以形成基於具有相同邊長的凸多面體的最密集結構。

該模型的物理實現使用了等長的管狀珠子，長度均為 3 厘米。 作者使用了不同的顏色來展示結構的組裝方式。

這件藝術品巧妙地將數學幾何中的三角多面體概念與材料科學中的負泊松比特性相結合，並通過精巧的珠飾工藝將其呈現出來。它不僅展示了數學在藝術創作中的潛力，也為負泊松比結構的設計提供了一種新穎的思路。

關於作者

• 林嘉陽（Jiayang Lin）: 國立台灣科技大學建築系碩士生，對數字和幾何領域充滿熱情，並希望將跨領域知識應用於建築設計。
• 施宣光(Shen-Guan Shih): 國立台灣科技大學建築系教授。
• 周昌裕（ChangYu Chou）: 國立台灣科技大學建築系碩士生 。
• 金必耀(Bih-Yaw Jin): 國立台灣大學化學系教授 ，長期致力於將數學概念融入藝術創作。

欲了解此作品，請訪問 2023 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries。

© 2025 珠璣科學 |負泊松比結構

探索五重對稱之美：二十面體複合桁架模型

在 2015 年的 Bridges 會議中，金必耀與左家靜不僅展示了鈣鈦礦結構的精美模型，還呈現了另一組引人入勝的藝術作品——「Truss models of icosahedral complexes」（二十面體複合桁架模型）。這些模型以其獨特的結構和對非週期性有序結構的探索，再次展現了數學與藝術的優雅結合。

這個模型的尺寸為 12 x 12 x 12 厘米，同樣是在 2014 年 使用 空心玻璃珠 (Tubular glass beads) 製作而成。

什麼是二十面體複合體？又為何與準晶體相關？

二十面體 (icosahedron) 是一種具有 20 個三角形面、30 條邊和 12 個頂點 的柏拉圖立體。它擁有令人著迷的 五重旋轉對稱性。然而，這種五重對稱性與傳統晶體結構中常見的平移對稱性是不相容的，這意味著單獨的二十面體無法像傳統晶胞那樣在三維空間中進行週期性排列來形成晶體。

這就引出了準晶體 (quasiperiodic crystal)的概念。準晶體是一種有序但不具週期性的結構，其原因正是五重旋轉對稱性與平移對稱性之間的不相容性。準晶體雖然具有長程的有序性，但其原子排列並不呈現出像傳統晶體那樣的重複單元。

金必耀與左家靜的「Truss models of icosahedral complexes」正是對這種複雜概念的可視化嘗試。 這些模型可以被視為 有限的準晶體，是通過在 中心二十面體周圍添加足夠數量的四面體、八面體和五角雙錐體 而構建的。

更令人驚嘆的是，模型中 珠子的顏色被精心挑選，用於描繪具有二十面體對稱性的 四種不同的多面體：

• 二十面體 (icosahedron)：使用帶有螺旋圖案的珠子。
• 二十-十二面體 (icosidodecahedron)：使用白色珠子。
• 頻率為 2 的 Mackay 十二面體 (frequency-2 Mackay dodecahedron)：使用藍色珠子。
• 六十面體 (hexecontahedron)：使用紅色珠子。

這些模型的意義何在？

通過將這些不同的多面體以特定的方式組合在一起，金必耀與左家靜的作品生動地展現了構成類晶體的局部結構單元以及它們之間的複雜關係。使用空心管珠和桁架結構的方式，不僅使得模型輕巧且具有一定的剛性，更清晰地展示了這些幾何體的骨架和連接方式。

這件二十面體複合桁架模型不僅是美麗的藝術品，更是理解準晶體結構這一複雜科學概念的寶貴工具。它們將抽象的數學和物理原理轉化為具體的、可供觀賞和思考的藝術形式，激發我們對自然界中非週期性有序結構的好奇心。如同他們之前的作品一樣，金必耀與左家靜再次證明了 空心管珠是構建複雜多面體結構和探索深奧數學概念的理想媒介。

透過這些模型，我們得以一窺準晶體那既有序又非重複的奇特世界，並欣賞數學與藝術在探索物質結構本質時所展現的創造力。

欲了解更多關於 金必耀與左家靜在 2015 Bridges 會議上的作品，請訪問 Bih-Yaw Jin & Chia-Chin Tsoo | 2015 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries。

© 2025 珠璣科學 |二十面體複合桁架模型

探索材料之美：串珠 Perovskite 結構模型

在 2015 年的 Bridges 會議上，金必耀與左家靜帶來了令人著迷的數學藝術作品。其中一件名為 鈣鈦礦結構（The perovskite structure） 的串珠模型， 以其色彩分明的結構和對重要材料科學概念的視覺化呈現，引發了人們對微觀世界的好奇。

這件 鈣鈦礦結構 模型尺寸為 16 x 16 x 16 厘米，於 2014 年 使用 空心玻璃珠 (tubular glass beads) 製作而成。這個模型以 兩種不同的顏色 的空心管狀珠子構成，呈現了一個 2x2x2 的晶胞結構 。

什麼是 Perovskite 結構呢？

在材料科學中，鈣鈦礦 (perovskite) 指的是 具有特定晶體結構的一類材料 。其名稱源於最早發現的礦物——鈣鈦礦 (CaTiO₃)。更廣泛地說，具有鈣鈦礦結構的化合物通常具有通式 ABX₃，其中 A 和 B 是不同尺寸的陽離子，而 X 通常是陰離子（如氧化物或鹵化物）。

關鍵在於這些離子的排列方式： 鈣鈦礦結構可以視為由 八面體 (octahedrons) 和 立方八面體 (cuboctahedrons) 以 1:1 的比例 在三維空間中 均勻且密鋪 (space-filling tessellation) 而形成的。金必耀與左家靜的模型使用了兩種不同顏色的空心管狀珠子來建構這個結構.

金必耀與左家靜的模型正是對這種微觀排列的宏觀呈現。他們使用不同顏色的空心管珠來代表不同的結構單元，清晰地展示了八面體和立方八面體如何交織在一起，形成一個重複的、空間填充的整體。

Perovskite 材料的重要性：

值得一提的是，鈣鈦礦材料在近年來引起了科學界的廣泛關注。這是因為它們在諸如太陽能電池、發光二極體 (LEDs)、感測器和催化劑等領域展現出優異的性能。特別是在太陽能電池領域，鈣鈦礦太陽能電池因其製備成本低、效率高等優點，被認為是下一代太陽能技術的有力競爭者。

透過金必耀與左家靜的這個串珠模型，我們不僅能夠欣賞到一件精美的藝術品，更能直觀地理解鈣鈦礦這種重要材料的基礎結構。它展示了科學概念如何透過藝術的媒介變得更加具體和易於理解，也讓我們對構成我們周圍世界的微觀結構產生更深的認識。藝術與科學的結合，往往能開啟我們探索未知世界的新視角。

這件作品再次印證了空心管珠是構建由剛性結構單元（如八面體和立方八面體）組成的多面體複合體的理想材料。金必耀與左家靜持續探索利用傳統的串珠技術來呈現奈米級無機化合物和非分子晶體固體的空間排列。他們的作品不僅具有藝術價值，也為科學教育提供了一種新穎而有趣的方式。

欲了解更多關於 Bih-Yaw Jin 和 Chia-Chin Tsoo 在 2015 Bridges 會議上的作品，請訪問 Bih-Yaw Jin & Chia-Chin Tsoo | 2015 Bridges Conference | Mathematical Art Galleries。

© 2025 珠璣科學 |鈣鈦礦

六方之美：探索六方密堆積晶格的骨架模型

繼上次介紹了 金必耀與左家靜令人印象深刻的立方密堆積骨架模型後，我們將目光投向他的另一件精美作品：「六方密堆積晶格結構的骨架模型 (Skeletal model of hexagonal close packing lattice structures)」。這件與前者尺寸相同的藝術品（14 x 14 x 14 厘米，同樣於 2014 年由 3 厘米的玻璃米珠製成），以其獨特的結構和色彩，展現了另一種重要的晶體堆積方式。

正如 Jin 教授的聲明中所述，他的創作靈感來源於奈米級無機化合物和非分子晶體的結構。這些結構的基礎是配位多面體，而這件作品正是對六方密堆積 (hcp) 晶格結構的精彩詮釋。

那麼，什麼是六方密堆積 (hcp) 呢？ 與立方密堆積 (fcc) 類似，六方密堆積也是一種高效的原子或離子堆積方式。然而，它們的堆疊方式有所不同。在 hcp 結構中，第一層（A）的球體位於第二層（B）球體之間的空隙上方，但第三層（A）的球體卻直接位於第一層球體的正上方，形成一種 ABABAB... 的堆疊序列。這種堆疊方式與 fcc 的 ABCABC... 序列形成鮮明對比。儘管堆積密度相同，但兩種結構的對稱性和某些物理性質卻有所差異。許多金屬，例如鋅和鎂，都採用六方密堆積結構。

這件米珠模型正是這種 ABAB 堆疊的視覺化呈現。它由一個中央較小的 反截角八面體 (anticuboctahedron)（紅色米珠）和一個外層的 二頻率反截角八面體 (frequency-two anticuboctahedron)（藍色米珠）組成。值得注意的是，反截角八面體是另一種阿基米德多面體，與六方密堆積結構有著密切的幾何聯繫。它與之前介紹的立方密堆積模型中出現的截角八面體有所不同，反映了兩種不同晶體結構的底層幾何差異。

正如網頁所指出的，六方密堆積 (hcp) 晶格結構與 fcc 八隅體桁架密切相關。這兩種密堆積方式都基於緊密的球體排列，只是在堆疊順序上有所區別。通過這兩件作品並置展出，或許也希望引導觀者思考這兩種密切相關卻又獨特的晶體結構之間的聯繫。 通過這件「六方密堆積晶格結構的骨架模型」，我們再次見證了 金必耀教授將科學概念融入藝術創作的卓越能力。他運用精湛的串珠技藝，將抽象的原子排列具體化為引人入勝的藝術品，讓我們在欣賞其美感的同時，也能對微觀世界的結構有更直觀的理解。這正是數學與藝術結合的魅力所在，它能以出人意料的方式啟發我們的思考和想像.

您可以通過以下鏈接查看該作品的更多信息：

• JMM 2018 畫廊

© 2025 珠璣科學 |六方密堆積晶格的骨架模型

Skeletal model of cubic close packing lattice structures 解構立方密堆積的精美骨架模型

在 2018 年聯合數學會議(2018 Joint Mathematics Meetings)的藝術畫廊中，金必耀與左家靜展出了一系列令人驚嘆的科學藝術作品，巧妙地將微觀的晶體結構轉化為宏觀的藝術形態。其中一件引人注目的作品便是 「立方密堆積晶格結構的骨架模型 (Skeletal model of cubic close packing lattice structures)」。

這件作品的尺寸為 14 x 14 x 14 厘米，由 3 厘米的玻璃米珠於 2014 年製作而成。它不僅僅是一個美麗的裝飾品，更是一個面心立方 (fcc) 晶體對稱性的具體呈現。

什麼是立方密堆積 (fcc) 呢？ 在化學和材料科學中，立方密堆積是一種原子或離子在晶體結構中排列的方式，其特點是具有最高的空間利用率。你可以想像將等大的球體以最緊密的方式堆疊起來，第一層（A）的球體位於第二層（B）球體之間的空隙上方，而第三層（C）的球體則不與第一層對齊，形成一種 ABCABC...的堆疊序列。這種排列方式在許多金屬和惰性氣體固體中都很常見。

此模型進一步將這種抽象的排列概念轉化為一個八隅體桁架 (octet-truss) 結構。這種桁架結構是通過以 2:1 的比例堆疊四面體和八面體這兩種基本的配位多面體 (coordination polyhedron) 構建而成。配位多面體指的是在晶體中，中心離子周圍規則排列的相鄰離子所形成的幾何形狀。四面體和八面體是自然界中最常見且最穩定的配位多面體之一.

更令人稱奇的是，八隅體桁架空間框架因其基本構建單元的內在剛性而展現出高強度和輕量化的特性。這使得它在工程領域，例如航空航天材料的設計中，也具有重要的研究價值。

在這個精美的米珠模型中，我們可以清晰地看到其精巧的結構：一個中央較小的截角八面體 (cuboctahedron) 由棕色米珠構成，而外層則是一個二頻率截角八面體 (frequency-two cuboctahedron)，由黃色米珠組成。截角八面體是一種由正方形和正三角形面組成的阿基米德多面體，它與立方密堆積結構有著密切的幾何關係。

通過這件「立方密堆積晶格結構的骨架模型」，金必耀與左家靜不僅展示了他精湛的傳統串珠技藝，更將深奧的化學和材料科學概念以一種直觀且美觀的方式呈現出來，讓我們得以欣賞數學與藝術交融的獨特魅力。這也體現了藝術家從基本的配位多面體出發，利用簡單的幾何原理，創造出複雜且美觀的骨架雕塑的理念.

您可以通過以下鏈接查看該作品的更多信息：

• JMM 2018 畫廊

© 2025 珠璣科學 |立方密堆積

數學與藝術的交匯：碳納米管三葉結 C318

在 2014 年的 Bridges 會議上，莊宸Chern Chuang（當時是麻省理工學院化學系的博士生)與國立台灣大學的金必耀教授，共同展示了一件引人注目的珠飾藝術品：碳納米管三葉結 C318。這件作品不僅是精美的視覺藝術，更是對分子結構和數學拓撲的巧妙結合。

背景知識：珠飾分子建模技術

莊宸和金必耀在過去的 Bridges 會議中一直推廣一種特定的珠飾技術。簡單來說，這種技術的核心思想是**將分子中的每一個化學鍵替換為一顆珠子，然後用魚線將這些珠子串聯起來，形成一個代表分子結構的連通圖。在他們研究的大多數案例中，所形成的圖是哈密頓圖，這意味著可以找到一條路徑遍歷圖中的每個頂點（即每個珠子）恰好一次。此外，所有組成的珠子通常會被魚線穿過兩次，以確保結構的穩定性。更多細節可以參考他們提交給 Bridges 2014 的題為 "Torus Knots with Polygonal Faces" 的手稿。

碳納米管三葉結 C318

創作者：莊宸和金必耀

• 尺寸： 5 x 5 x 3 厘米
• 材料： 3 毫米施華洛世奇水晶珠
• 創作年份： 2014

C318 碳納米管三葉結被作者認為是其家族中最優雅的作品。這種優雅性體現在兩個方面：

• 美學角度： 它的尺寸與半徑之比與最常見的三葉結呈現方式完美契合，視覺上非常協調。
• 力學角度： 它僅使用了最少數量的碳原子就實現了三葉結的結構，展現了結構上的簡潔性。

通過使用閃耀的施華洛世奇水晶珠，這件作品不僅準確地呈現了碳納米管三葉結的幾何形狀，更增添了藝術的美感。它是一個將抽象的化學結構轉化為具體的、可觸摸的藝術品的絕佳範例。

這件作品的創作正是基於前述的珠飾技術，每一個水晶珠都代表了碳納米管結構中的一個化學鍵，魚線則連接這些“鍵”，勾勒出三葉結的拓撲結構。

您可以通過以下鏈接查看該作品的更多信息：

• Bridges 2014 畫廊 - 碳納米管三葉結 C318

© 2025 珠璣科學 |碳納米管三葉結

無限的自我相似性：串珠 Sierpinski tetrahedron 的幾何之旅

在 2014 年的 Bridges 會議中，金必耀與左家靜的另一件引人注目的作品是 串珠 Sierpinski 四面體 「Beaded Sierpinski tetrahedron」。這件雕塑以其精巧的結構和對碎形概念的視覺呈現，展現了數學與藝術之間的深刻聯繫。

這件 串珠 Sierpinski 四面體 的尺寸為 20x20x20 厘米，同樣是在 2014 年 使用 3 厘米的空心玻璃珠 (3cm tubular Glass beads) 製作而成。它是一個 三階 (third-order) 的 Sierpinski 四面體串珠模型。

什麼是 Sierpinski 四面體呢？

簡單來說，它是一種 碎形 (fractal)，具有 自我相似性 (self-similarity) 的特徵。你可以不斷地將其分解成更小的部分，而每一個小部分都與整體在結構上是相似的。Sierpinski 四面體的建構過程通常從一個正四面體開始，然後不斷地移除其中央的小四面體，並重複這個過程。

金必耀與左家靜的這件串珠作品生動地展現了這一迭代過程。這個 三階模型由 64 個小四面體組成，整體 邊長約為 24 厘米。令人驚嘆的是，這個看似複雜的結構是由 256 個 3 厘米的空心管珠，並透過 角編織技術 (angle weave technique) 反覆使用 而製作出來的。

透過仔細觀察這個串珠 Sierpinski 四面體，我們可以清晰地看到其內部層層疊疊的空隙和不斷重複的四面體結構，這正是碎形幾何的魅力所在。每一層的縮小和重複都體現了數學上的無限迭代概念，而 金必耀與左家靜 則巧妙地將其轉化為一個可以觸摸和觀看的藝術品。

這件 串珠 Sierpinski 四面體 不僅是一件精美的串珠藝術品，更是對抽象數學概念——特別是碎形和自我相似性——的一個直觀而引人入勝的詮釋。它讓我們能夠以一種全新的方式理解這些複雜的幾何概念，並欣賞數學中蘊含的無限之美。

想了解更多 串珠 Sierpinski tetrahedron，請造訪 Bridges Math Art Gallery 2014。

© 2025 珠璣科學 |Sierpinski 四面體

探索非週期之美：手性向量 為(4,0)的串珠 馬凱二十面體

在 2014 年的 Bridges 會議上，金必耀與左家靜 共同展出了一系列令人著迷的數學藝術作品。其中一件名為 手性向量 為(4,0)的串珠 馬凱二十面體 「Beaded Mackay icosahedron with chiral vector (4,0)」 的串珠雕塑，以其獨特的幾何結構和精湛的工藝，吸引了眾多目光。

這件作品的尺寸為 18x18x18 厘米，於 2014 年 使用 3 厘米的空心玻璃珠 (3cm tubular Glass beads) 製作而成。從名稱中可以看出，這件藝術品的核心是一個 馬凱二十面體 （Mackay icosahedron）。

什麼是 馬凱二十面體 呢？

馬凱二十面體 是一種 準晶體的結構單元 (building units of the quasi-crystal)。 準晶體是一種 有序但不具週期性的結構，其獨特性在於 五重旋轉對稱性與平移對稱性之間存在不相容性。這與我們常見的晶體具有明確的週期性結構有所不同。馬凱二十面體 本身就呈現出類似二十面體的結構，但在原子或結構單元的排列上更為複雜。

金必耀與左家靜選擇以串珠的方式來呈現這種複雜的幾何體。他們運用了 角編織技術 (angle weave technique) ，將多種剛性多面體單元 連接 在一起，構建出這個 馬凱二十面體 。具體來說，這個串珠雕塑是由 四面體 (tetrahedra)、八面體 (octahedra) 和五角雙錐 (pentagonal bipyramids) 這三種多面體相互連接而成。

在最終的雕塑中，二十面體 (icosahedron) 的 20 個面是由四面體和八面體填充的，而五角雙錐則構成了這個 馬凱二十面體的 12 個頂點 (apexes)。這種精心的構造方式不僅在視覺上呈現了 馬凱二十面體的形態，也體現了其內部不同幾何單元之間的複雜關係。

透過這件手性向量 為(4,0)的串珠 馬凱二十面體 ，我們可以感受到藝術家將抽象的數學和材料科學概念轉化為具體可感的藝術品的巧思。它不僅是一件美麗的雕塑，更是一個引導我們思考物質結構和非週期性秩序的有趣案例。金必耀與左家靜巧妙地運用了簡單的串珠技巧，賦予了複雜的科學概念以全新的視覺表達。

想了解更多 串珠 Sierpinski tetrahedron，請造訪 Bridges Math Art Gallery 2014。

© 2025 珠璣科學 |馬凱二十面體

第二型氫氣水合物（Type II Hydrogen Clathrate）

第二型氫氣水合物（Hydrogen Clathrate Type II）：更大籠狀結構的幾何奧秘

除了第一型氫氣水合物，金必耀與左家靜在 2018 年 Bridges 數學藝術大會 上還展示了 第二型氫氣水合物（Hydrogen Clathrate Type II） 的串珠模型。這個模型比第一型結構更為複雜，具有更大的籠狀單元，展現了水分子如何透過幾何排列來形成穩定的氣體捕獲結構。

第二型氫氣水合物的結構特性

第二型氫氣水合物擁有更大的籠狀結構，能夠儲存較大體積的氣體分子。它的結構由兩種籠子組成：

• 小型 12 面體籠（Dodecahedral Cage, 5¹²）： 與 Type I 相同，由 12 個五邊形組成。
• 大型 16 面體籠（Hexakaidecahedral Cage, 5¹²6⁴）： 由 12 個五邊形和 4 個六邊形組成，體積更大。

   這種結構的特點是：

   
•   更適合捕捉較大分子的氣體（如丙烷）    
•   擁有更高的空間填充能力    
•   存在於極地與深海環境中，並被視為未來的潛在氫能儲存技術

串珠模型的創新價值

這個模型延續了金必耀教授的 串珠科學建模技術，以珠子代表水分子的碳氫鍵與氫鍵，使觀眾能夠：

   
• 直觀地看到 Type II 水合物的幾何結構    
• 分辨 不同籠子的形狀與排列方式    
• 了解 如何利用這種結構來儲存氫氣與其他氣體

這種藝術與科學結合的方法，不僅讓水合物的概念變得具體可感，還為材料科學與教育提供了新的視角。

晶籠水合物與未來能源

氫氣水合物的研究對 可再生能源技術 具有重大影響：

   
•  低溫高效氫氣儲存技術，有望取代目前高壓儲氫的方法    
•   可能用於未來的太空探索，如木星的衛星 歐羅巴（Europa），可能蘊藏大量水合物    
•   應用於工業氣體分離與碳捕獲技術，提高能源利用效率

串珠模型資訊

• 尺寸： 直徑約 25 公分
• 材料： 木珠、彈性繩
• 結構特點： 重現 Type II 水合物的複雜幾何排列

更多資訊

這種結構比 Type I 更適合儲存較大分子的氣體，如丙烷。詳細內容可參閱 Bridges 2018 展覽頁面。

© 2025 珠璣科學 |第二型氫氣水合物

Beaded (1,1) Gyroidal Surface

本作品由國立臺灣大學的 陳儀斌（Yi-Bin Chen）（農業經濟學系本科生）製作， 助教何厚勳在設計上做了重要貢獻， 並入選 Bridges 2023 數學藝術展覽。

作品簡介

「Beaded (1,1) Gyroidal Surface」是一件基於 螺旋面（Gyroid Surface） 幾何結構的藝術作品，透過數學串珠方法來呈現流線型的曲面結構，展現拓撲學與藝術設計的結合。

創作背景

在國立臺灣大學 金必耀教授 開設的「分子美學」課程中，學生們學習如何將分子結構轉化為可視化的藝術模型。金教授曾展示一個以珠子構建的 (2,0) 螺旋面 模型，啟發了學生們的創作靈感。

Yi-Bin Chen基於這個概念，選擇 (1,1) Goldberg 向量 作為設計基礎，並透過不同顏色的珠子來構建螺旋曲面結構。他特別使用 藍色、紅色與黃色 的八角形珠子，將它們排列在六角形條帶的適當位置，調整模型的曲率，使其呈現自然的螺旋形狀。

作品特色

• 名稱： Beaded (1,1) Gyroidal Surface
• 尺寸： 30.0 × 30.0 × 30.0 公分
• 材質： 6 毫米塑膠珠子、魚線
• 創作年份： 2022 年
• 數學概念： 螺旋面結構、Goldberg 向量、拓撲學

藝術家簡介

何厚勳 是國立臺灣大學化學系博士生，專注於碳分子的數學結構與藝術表現。他的研究涵蓋 碳納米管（CNTs）、富勒烯（Fullerenes） 及其幾何排列方式。

陳儀斌 是國立臺灣大學農業經濟學系的本科生，對於結合傳統工藝與數學藝術有濃厚的興趣。他透過數學串珠的方法，探索分子幾何的視覺化表達。

數學藝術與拓撲學

螺旋面（Gyroid Surface）是一種在 材料科學、結晶學與數學 中具有重要應用的幾何結構。其特點是沒有鏡面對稱性，卻能形成連續但不相交的三維曲面，這種結構在自組裝材料與光子晶體的研究中扮演重要角色。

「Beaded (1,1) Gyroidal Surface」通過簡單的串珠技術，成功模擬了這種複雜的數學結構，展現數學與藝術的完美融合。

相關連結

• Bridges 2023 數學藝術展 - 陳儀斌與何厚勳
• 國立臺灣大學化學系
• 國立臺灣大學農業經濟學系
• 金必耀教授 - 國立臺灣大學
• Gyroid 螺旋面
• 數學藝術（Mathematical Art）

「Beaded (1,1) Gyroidal Surface」透過珠子與魚線的簡單元素，展現出拓撲學的精妙之處。這不僅是一件數學與藝術結合的作品，也為分子結構的視覺化提供了新的表現方式，讓觀者感受到數學世界的美麗與秩序。

© 2025 珠璣科學 |Beaded (1,1) Gyroidal Surface

第一型氫氣水合物（Type I Hydrogen Clathrate）

在 2018 年 Bridges 數學藝術大會 上，金必耀與左家靜利用 串珠技術（Beading Techniques）構建了第一型氫氣水合物（Hydrogen Clathrate Type I） 的模型，將這種微觀結構以可視化的方式呈現出來。這項作品不僅是數學與藝術的結合，也讓我們能夠直觀理解水分子如何形成籠狀結構來包裹氫氣分子。

氫氣水合物是一種特殊的 籠狀水合物（Clathrate Hydrate），在高壓低溫環境下形成，由水分子透過氫鍵（Hydrogen Bonding） 排列成特定的籠狀結構，並在內部捕捉氫氣分子。第一型（Type I）水合物的結構由兩種類型的籠子組成：

• 小型 12 面體籠（Dodecahedral Cage, 5¹²）： 由 12 個五邊形組成，體積較小。
• 大型 14 面體籠（Tetrakaidecahedral Cage, 5¹²6²）： 由 12 個五邊形和 2 個六邊形組成，能容納較大分子。

串珠模型

• 尺寸： 直徑約 20 公分
• 材料： 木珠、彈性繩
• 結構特點： 以串珠方式重現水合物的氫鍵網絡

更多資訊

這種水合物在高壓低溫環境下穩定存在，被視為未來的氫氣儲存技術之一。詳細內容可參閱 Bridges 2018 展覽頁面。

© 2025 珠璣科學 |第一型氫氣水合物

Beadfinity 串珠無限

本作品由國立臺灣大學化學系博士生 何厚勳 創作，並入選 Bridges 2024 數學藝術展覽。

作品簡介

「Beadfinity」是一件基於數學曲線與碳納米管（Carbon Nanotubes, CNTs）結構的藝術創作，該作品透過珠子和魚線來模擬分子層級的幾何形狀，展現數學與化學之間的深層聯繫。

創作背景

本作品的靈感源自 Xuan-Yun Wu同學在 2023 年秋季「分子美學」課程中設計的 S 形曲線。該曲線與環面相連，從特定角度投影時呈現「∞」（無限）符號的幻象。何厚勳透過精確排列七邊形和五邊形，使碳納米管（CNTs）形成類似的曲線結構，並以珠子串聯 CNT 模型，構建出這件三維數學藝術作品。

作品特色

• 材質： 3 毫米磨砂珠子、魚線
• 尺寸： 10.0 × 5.0 × 5.0 公分
• 創作年份： 2023 年
• 數學概念： 曲線與拓撲結構、碳納米管幾何排列

何厚勳 是國立臺灣大學化學系博士生，在 金必耀教授 的指導下，研究石墨結構的幾何形狀，特別是 碳納米管（CNTs）與 富勒烯（Fullerenes）等碳分子的數學表現方式。

金必耀教授透過「數學串珠」的方法，以珠子和魚線建構分子模型，例如富勒烯的三維結構。何厚勳進一步將此方法應用於 CNT 結構，使複雜的空間曲線透過珠串藝術呈現，提供一種獨特且具有視覺衝擊力的科學探索方式。

數學藝術與分子結構

許多分子結構的幾何排列與數學中的拓撲形狀息息相關，例如：

• 富勒烯（Fullerene）： 由五邊形與六邊形組成的碳球體，類似足球的結構。
• 碳納米管（CNTs）： 由石墨層卷曲形成的奈米管，具有高度對稱性與力學剛性。
• 環面曲線（Toric Curves）： 具有特殊拓撲特性的曲線，可用於模擬分子內部的電子行為。

「Beadfinity」透過幾何模型呈現這些結構，讓觀者直觀地感受數學與化學的交會。

相關連結

• Bridges 2024 數學藝術展
• 國立臺灣大學化學系
• 金必耀教授 - 國立臺灣大學
• 碳納米管（Carbon Nanotubes, CNTs）
• 數學藝術（Mathematical Art）

「Beadfinity」不僅是一件數學與藝術結合的作品，也讓人看到納米技術與分子幾何結構的美學價值。透過珠串建構的方式，我們能更直覺地理解碳分子的排列方式，並探索其在科學與藝術中的應用。

© 2025 珠璣科學 |Beadfinity 串珠無限