Tuesday, March 25, 2025

施瓦茲 D 曲面富勒烯串珠模型

賞析：施瓦茲 D 曲面富勒烯珠飾模型

我們將帶您一同欣賞一件曾在 2012 年 Joint Mathematics Meetings 上展出的精彩數學藝術作品：施瓦茲 D 曲面富勒烯珠飾模型 (Beaded Fullerene of Schwarz's D Surface)。這件作品由 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 共同創作。

作品詳情

作品名稱：施瓦茲 D 曲面富勒烯珠飾模型 (Beaded Fullerene of Schwarz's D Surface) [16]
創作者：Chern Chuang, Bih-Yaw Jin, Wei-Chi Wei
展出年份：2012 Joint Mathematics Meetings
創作年份：2008 年
尺寸：23cm x 21cm x 18 cm
材料：刻面塑膠珠和魚線 (Faceted plastic beads and fish thread)

結構特色與概念

這件珠飾模型呈現的是 Schwarz's D 曲面 的富勒烯結構。在他們的藝術家聲明中，作者們提到幾何是化學的重要組成部分，分子的功能很大程度上取決於其幾何形狀。作為化學家，他們對一類分子——由石墨碳組成的富勒烯及其珠飾模型之間的聯繫感興趣。

富勒烯分子特別適合製作珠飾模型，並且由此產生的模型既忠實地呈現了分子本身，又具有藝術吸引力。這件作品是兩個以珠飾呈現的分子之一，它們對應於經典的三週期極小曲面 (Triply Periodic Minimal Surfaces, TPMS)，即施瓦茲的 D 曲面和舍恩的 G 曲面。

作者們通過在規則的六邊形蜂窩中適當插入八邊形並在三個維度上引入週期性邊界條件，獲得了 TPMS 的富勒烯對應物。在這些珠飾模型中，八邊形用彩色珠子表示，而六邊形是白色的 。

具體到施瓦茲 D 曲面，它是 P 曲面的共軛曲面。為了避免不連接的部分，作者選擇以四面體形式構建這個曲面。與 P 曲面不同，D 曲面包含沿 C2 軸排列的兩種相反手性的螺旋面單元 (helicoid units) 。模型中的八邊形環由綠色珠子表示。

背景介紹

富勒烯是由碳原子組成的閉合籠狀或管狀分子。最著名的富勒烯是 C60，又稱巴克球，具有足球狀的結構。富勒烯因其獨特的幾何和電子性質而在化學、材料科學和納米技術等領域引起了廣泛的關注。

三週期極小曲面 (TPMS) 是在三個方向上都具有週期性的極小曲面。極小曲面是指其平均曲率處處為零的曲面，在局部上具有類似鞍形的形狀。TPMS 在數學、材料科學（如液晶和嵌段共聚物的微觀結構）以及生物學中都有廣泛的應用。

施瓦茲 D 曲面和 P 曲面是兩種著名的 TPMS。它們之間存在數學上的共軛關係。這些曲面可以通過其拓撲結構和對稱性來描述。

網站連結

您可以在 Bridges Organization 的網站上找到更多關於 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 的藝術作品：

賞析：

本次我們將聚焦於一件曾在 2012 年 Joint Mathematics Meetings 上展出的引人入勝的數學藝術作品：舍恩 G 曲面富勒烯串珠模型 (Beaded Fullerene of Schoen's G Surface)。這件藝術品是由 Chern Chuang、Bih-Yaw Jin 和 Wei-Chi Wei 共同創作。

作品詳情

作品名稱：舍恩 G 曲面富勒烯珠飾模型 (Beaded Fullerene of Schoen's G Surface)
創作者：Chern Chuang, Bih-Yaw Jin, Wei-Chi Wei
展出年份：2012 Joint Mathematics Meetings
創作年份：2011 年
尺寸：18.5cm x 18.5 cm x 20cm
材料：刻面塑膠珠和魚線 (Faceted plastic beads and fish thread)

結構特色與概念

這件精美的珠飾模型展現了 Schoen's G 曲面 的富勒烯結構。根據作者們的陳述，他們作為化學家，對由石墨碳構成的 富勒烯 分子及其相應的珠飾模型之間的關聯性抱有濃厚的興趣，因為分子的幾何形狀極大地影響其功能。

他們認為，富勒烯分子 非常適合用於製作珠飾模型，並且最終的模型不僅忠實地再現了分子結構，還具有藝術上的吸引力。本次展出的兩個珠飾分子模型之一便是舍恩的 G 曲面，另一件是施瓦茲的 D 曲面，兩者皆為經典的 三週期極小曲面 (Triply Periodic Minimal Surfaces, TPMS)。

作者們通過在規則的六邊形蜂窩結構中巧妙地插入 八邊形，並在所有三個維度上引入週期性邊界條件，從而獲得了這些 TPMS 的富勒烯對應物。在這些珠飾模型中，八邊形由彩色珠子表示，而六邊形則為白色。

特別地，舍恩的 G 曲面 被認為是最難以捉摸的嵌入式 TPMS 之一，然而它卻廣泛存在於生物和材料科學中。如同 P 曲面和 D 曲面可以分別分解為相互連接的懸鏈線和螺旋面單元一樣，G 曲面可以被視為是連接的螺旋面，它們處於懸鏈線-螺旋面等距變形的中間狀態 。這個珠飾的螺線包含 16 個這樣的單元，每個單元的長度為兩個平移單元。模型中，作者使用了三種不同的顏色來表示八元環，因為這些環可以根據其面法線進行分類。在通常的右手笛卡爾坐標系中，面法線沿 x 軸的八元環用紫色珠子表示，而沿 y 軸和 z 軸的則分別用藍色和綠色表示。

背景介紹

舍恩 G 曲面 是一種複雜且重要的 TPMS，因其在自然界和材料科學中的普遍存在而備受關注。其獨特的幾何特性使其成為研究界面現象和週期性結構的理想模型。

網站連結

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雙曲巴克球P曲面嵌入珠飾模型

數學之美：2018年Bridges會議展出的雙曲巴克球P曲面嵌入珠飾模型

Bridges會議是一個享譽國際的年度盛會，它巧妙地連接了數學、藝術、音樂、建築等多個領域。每年的數學藝術展覽都是會議的一大亮點，展示了藝術家們如何將深奧的數學概念轉化為引人入勝的視覺作品。在 **2018年的Bridges會議**上，一件名為 "**Bead model for the hyperbolic buckyball embedded in a P-surface**"（嵌入P曲面的雙曲巴克球珠飾模型）的藝術品，以其獨特的幾何形態和精湛的製作工藝，吸引了眾多與會者的目光。

背景介紹：最小曲面與雙曲幾何

為了更好地理解這件藝術品，我們需要了解以下幾個關鍵概念：

最小曲面（Minimal Surface）： 指的是在給定邊界條件下，具有最小表面積的曲面。P-曲面是一種重要的三週期極小曲面（Triply Periodic Minimal Surface, TPMS）。
巴克球（Buckyball）： 又稱足球烯，最著名的例子是C60，是一種由60個碳原子組成的球狀富勒烯分子。
雙曲幾何（Hyperbolic Geometry）： 一種非歐幾里得幾何，其曲率為負。在雙曲幾何中，三角形的內角和小於180度。
雙曲巴克球（Hyperbolic Soccerball）： 與球形的巴克球類似，但具有雙曲的結構，通常包含七邊形而不是五邊形。

藝術品詳情：Bead model for the hyperbolic buckyball embedded in a P-surface

Bead model for the hyperbolic buckyball embedded in a P-surface

創作者：劉采容 Liu (Tsai-Jung Liu)與金必耀 (Bih-Yaw Jin)

尺寸： 18 x 18 x 18 厘米
材料： 6毫米塑料珠子
創作年份： 2018

這件珠飾模型生動地展現了一個 **嵌入在P型三週期極小曲面中的雙曲巴克球**。與常見的巴克球C60不同，雙曲巴克球是一種具有負曲率的石墨結構，其特點是包含七邊形。

在這個模型中，**藍色的珠子代表七邊形**，每個七邊形都被七個相鄰的七邊形隔開，可以用 **向量 (1,1)** 來表示。分隔相鄰七邊形的 **單個碳-碳鍵** 則由 **粉色的珠子** 來表示。通過這種方式，藝術家巧妙地利用不同顏色的珠子，清晰地呈現了雙曲巴克球的結構特徵。

根據藝術家的闡述，這個雙曲巴克球是通過對之前的 **全七邊形網絡** 進行 **跳蛙變換（leap-frog transformation）** 得到的。一次跳蛙變換後，單元晶胞中的碳原子數量增加到 **168個** 。

與 Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface 的關聯

這件雙曲巴克球的珠飾模型與同年（2018年）在Bridges會議上展出的另一件作品 "**Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface**"（嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠飾模型）有著密切的聯繫。

**共同的基礎結構：** 兩件作品都以 **P型三週期極小曲面** 作為嵌入的基礎。P-曲面提供了一個具有複雜拓撲結構的空間，用於展示這些非同尋常的碳結構。
**七邊形的重要性：** 兩者都涉及到 **七邊形**。克萊因全七邊形網絡完全由七邊形構成，而雙曲巴克球的特徵也在於包含七邊形。
**變換關係：** 最關鍵的聯繫在於，雙曲巴克球模型是通過對克萊因全七邊形網絡進行 **跳蛙變換** 得到的。這意味著後者可以被視為前者的“前身”或基礎結構。跳蛙變換是一種特定的幾何操作，導致了碳原子數量的增加和結構的改變。

因此，這兩件藝術品共同展示了從一個全七邊形網絡通過數學變換到一個更複雜的雙曲富勒烯結構的過程，凸顯了數學在理解和創造新的碳同素異形體方面的作用。

關於作者

劉采容 (Tsai-Jung Liu): 。
金必耀 (Bih-Yaw Jin): 是國立台灣大學化學系的教授，長期以來一直致力於運用串珠技術來構建各種數學和化學結構的物理模型。他的研究興趣涵蓋了富勒烯、石墨烯等碳材料的幾何結構。

「嵌入P曲面的雙曲足球烯珠子模型」不僅是一件視覺上引人入勝的藝術品，更是對複雜幾何和化學概念的深刻探索。通過與「嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠子模型」的比較，我們可以更清晰地理解結構之間的演變關係以及數學變換在分子結構設計中的作用。金必耀教授和劉采容再次向我們展示了數學、科學與藝術之間令人驚嘆的橋樑。欲了解更多關於他們的精彩工作，請訪問 Bridges 數學藝術畫廊。

克萊因全七邊形網絡P曲面嵌入串珠模型

數學之美：2018年Bridges會議展出的克萊因全七邊形網絡P曲面嵌入珠飾模型

Bridges會議是一個獨特的國際盛會，匯集了數學、藝術、音樂、建築等多元領域的參與者。其數學藝術展覽是會議的重要組成部分，展示了數學概念與藝術創作的精妙結合。在2018年的Bridges會議上，一件名為 "Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface"（嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠飾模型）的藝術品，以其複雜的幾何結構和視覺呈現，吸引了眾多目光。

背景介紹：最小曲面與富勒烯

在深入了解這件藝術品之前，我們需要對以下概念有所了解：

最小曲面（Minimal Surface）： 在給定邊界下，具有最小表面積的曲面。P-曲面是一種三週期極小曲面（Triply Periodic Minimal Surface, TPMS）。
富勒烯（Fullerene）： 一類由碳原子組成的籠狀分子，例如著名的巴克球C60。藝術家們也對具有非球形結構的假設富勒烯進行了探索。
克萊因全七邊形網絡（Klein’s all-heptagon network）： 一種僅由七邊形組成的週期性圖形結構。

藝術品詳情：Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface

Bead model for the Klein’s all-heptagon network embedded in a P-surface

創作者：劉采容 (Tsai-Jung Liu)與金必耀 (Bih-Yaw Jin)

尺寸： 16 x 16 x 16 厘米
材料： 8毫米塑料珠子
創作年份： 2015

這件雕塑作品呈現了一個 **嵌入在虧格為3的P型三週期極小曲面中的克萊因全七邊形網絡的物理模型**。這個網絡可以通過 **Goldberg向量 (1,0)** 來指定，其中每個七邊形都被七個相鄰的七邊形所環繞。

在結構的單元晶胞中，包含了 **56個碳原子**，**84條邊** 和 **24個面**。藝術家們使用 **8毫米的塑料珠子** 來精確地呈現這一複雜的幾何結構。

根據藝術家的闡述，在化學領域，串珠模型中珠子之間的硬球排斥可以顯著地模擬富勒烯（一種球狀純碳分子）的分子形狀。此前，在2016年的聯合數學會議（Joint Mathematical Meeting）藝術展覽上，畢耀明和鄒嘉勤曾展出過與嵌入在類金剛石最小曲面中的假設負曲率富勒烯相關的珠飾模型。而本次展出的作品則展示了嵌入在P型最小曲面上的兩種sp2碳同素異形體，它們由七邊形和六邊形構成。

這件作品不僅在視覺上引人入勝，更體現了數學、化學與藝術之間的深刻聯繫，通過具體的物理模型幫助人們理解抽象的幾何概念和分子結構。

關於作者

劉采容 (Tsai-Jung Liu):。
金必耀 (Bih-Yaw Jin): 國立台灣大學化學系教授，長期致力於使用串珠技術構建各種數學和化學結構的模型。

「嵌入P曲面的克萊因全七邊形網絡珠子模型」是數學、科學和藝術之間深刻聯繫的一個傑出範例。它不僅展示了製作者高超的珠飾技巧，也體現了他們對複雜幾何結構的深刻理解。如果您對這個作品或其他數學藝術作品感興趣，請務必訪問 Bridges 數學藝術畫廊以獲取更多資訊。

2013年聯合數學會議展出的串珠希爾伯特曲線（第二步）

數學之美：2013年聯合數學會議展出的串珠希爾伯特曲線（第二步）

聯合數學會議（Joint Mathematics Meetings, JMM）匯集了全球眾多的數學家和數學愛好者。除了學術報告和研討會，會議的數學藝術展覽也提供了一個獨特的視角，展現數學概念的藝術表達。在 **2013 年的聯合數學會議**上，一件名為 "**Beaded Hilbert Curve, Step Two**"（串珠希爾伯特曲線，第二步）的藝術作品，以其精巧的工藝和深刻的數學內涵，吸引了參觀者的目光。

背景介紹：希爾伯特曲線與空間填充曲線

在深入了解這件藝術品之前，我們先簡單介紹一下 **希爾伯特曲線（Hilbert Curve）** 和 **空間填充曲線（Space-filling Curve）** 的概念。

空間填充曲線： 空間填充曲線是一類非常有趣的數學曲線，它們能夠填滿一個給定的二維或更高維度的空間中的每一個點。儘管它們本質上是一維的線，但通過無限的迭代，它們可以變得稠密地遍布整個區域或體積。
希爾伯特曲線： 希爾伯特曲線是空間填充曲線的一個經典例子。它以德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）的名字命名。希爾伯特曲線具有重要的局部性保持特性，這使得它在計算機科學領域有廣泛的應用，例如數據庫索引和圖像處理。

藝術品詳情：Beaded Hilbert Curve, Step Two

Beaded Hilbert Curve, Step Two

創作者：**莊宸 (Chern Chuang)**，**金必耀 (Bih-Yaw Jin)**，**左家靜 (Chia-Chin Tsoo)**

尺寸： 12 厘米 x 12 厘米 x 12 厘米
材料： 雙層塑料珠子和魚線
創作年份： 2012

這件名為 "**Beaded Hilbert Curve, Step Two**" 的藝術品，正是 **三維希爾伯特曲線的第二步迭代** 的串珠模型。它由 **127 個串珠立方體** 組成。

作者們展示了 **直角編織（right-angled weaving）的串珠技術** 可以有效地用於構建這些空間填充曲線的模型。這種技術提供了一種可靠的方式來創造三維物體，只要有適當的結構設計。

儘管這個結構的 **連接性較弱**，因為每個線段本質上只與它的兩個鄰居相連（相比之下，簡單的立方晶格有六個連接），但這個物理模型的 **機械穩定性卻相當強**。這一點突顯了串珠作為一種系統化工具的潛力，可以用於理解和創造數學圖形，其特點是 **動手操作和順序構造的方案**。

這件藝術品不僅在視覺上引人入勝，更重要的是，它以一種具體的方式呈現了抽象的數學概念，使人們能夠更直觀地理解希爾伯特曲線的特性。

關於作者

莊宸(Chern Chuang): 當時麻省理工學院化學系研究生，對分子結構的珠飾模型有深入研究。
金必耀 (Bih-Yaw Jin): 國立台灣大學化學系教授，長期以來致力於探索數學與藝術的結合，並將串珠技術應用於化學和數學結構的可視化。
左家靜 (Chia-Chin Tsoo): 與金必耀教授在多個數學藝術項目中合作。

參考資料

Chern Chuang, Bih-Yaw Jin and Chia-Chin Tsoo | 2013 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries: #### Statement. Beaded Hilbert Curve, Step Two

2013年聯合數學會議展出的Super Buckyball of Genus 31

數學之美：2013年聯合數學會議展出的Super Buckyball of Genus 31

聯合數學會議（Joint Mathematics Meetings, JMM）是世界上最大的數學學術會議之一，除了數學研究的交流，會議的藝術展覽也提供了一個獨特的平台，展示數學與藝術之間的奇妙聯繫。在 **2013 年的聯合數學會議**上，一件名為 "**Super Buckyball of Genus 31**" 的藝術品吸引了眾多目光。

背景介紹：富勒烯與拓撲虧格

在欣賞這件藝術品之前，我們先簡單了解一下相關的背景知識：

富勒烯（Fullerene）： 富勒烯是一類完全由碳原子組成的中空的球狀、橢球狀、或管狀分子。最著名的富勒烯是 **C60，又稱足球烯或巴克球（Buckyball）**，其結構與足球相似，由 20 個六邊形和 12 個五邊形構成。
拓撲虧格（Genus）： 在拓撲學中，一個曲面的虧格是指它包含的“洞”的數量。例如，一個球面（如普通的巴克球）的虧格為 0，而一個環面（如甜甜圈）的虧格為 1。**Genus 31** 意味著這個結構在拓撲上相當複雜，擁有 31 個“洞”。

藝術品詳情：Super Buckyball of Genus 31

Super Buckyball of Genus 31

創作者：**金必耀 (Bih-Yaw Jin) 及台北第一女子高級中學的師生**

尺寸： 20 英寸 x 20 英寸 x 20 英寸（約 60 厘米 x 60 厘米 x 60 厘米）
材料： 塑料珠子
創作年份： 2011

這件 "**Super Buckyball of Genus 31**" 是一個使用 **塑料珠子** 製作的 **大型多面體模型**。它並非一個普通的巴克球（Genus 0），而是一個 **虧格為 31 的超級巴克球**。

根據描述，這個模型的 **每一個頂點本身都是一個帶有三個孔的巴克球**，並且通過 **三個最短的碳納米管** 連接到三個相鄰的頂點。

另一種理解這個結構的方式是將其視為 **第二層的 Sierpinski 巴克球**，並且這種結構可以無限擴展。Sierpinski 結構是一種分形，通過不斷地自我複製和縮小形成複雜的圖案。將 Sierpinski 的概念應用於巴克球，創造出更複雜、更高虧格的結構，體現了數學中迭代和自相似性的思想。

這件藝術品是由 **畢耀明教授與台北第一女子高級中學的師生** 於 **2011 年 11 月** 共同製作完成的。這也展現了數學和科學概念在教育和公眾推廣中的藝術表達。

通過將抽象的數學概念（如拓撲虧格和分形）與具體的物理模型相結合，"Super Buckyball of Genus 31" 不僅是一件引人注目的藝術品，也是探索複雜幾何結構的一種有趣方式。

參考資料

Bih-Yaw Jin | 2013 Joint Mathematics Meetings | Mathematical Art Galleries: #### Artworks ##### Super Buckyball of Genus 31. 2013 Joint Mathematics Meetings Bih-Yaw Jin