Thursday, February 27, 2014
Wednesday, February 26, 2014
珠璣科學之串珠萬花環 (Bead kaleidocycle)
Dr. Tsoo and I wrote an article on the bead kaleidocycle for the local magazine, Science Monthly (科學月刊). But for unknown reasons, this article never came out. I decided to put the full paper in my blog anyway.
With these figures, I believe, even without the knowledge of Chinese, one can easily make your own kaleidocycle with beads.
珠璣科學之串珠萬花環
臺灣大學化學系 金必耀
國家高速網路與計算中心 左家靜
串珠是一種傳統藝術與工藝的形式，其基本步驟是將尼龍線反覆地穿過含有孔洞的珠子，常用來製作各種珠寶、裝飾品、吊飾品、雕塑等二維或是三維結構。在2012年，本文作者曾在「科學月刊」寫過「珠璣科學」系列文章，簡介有關串珠在分子模型的製作與應用，我們談到正多面體、碳六十、碳七十、碳八十等芙類分子的串珠模型，並且用烷類分子來解釋串珠模型與化學鍵價球模型的關連。當然，除了芙類分子與簡單的烷類分子之外，串珠還可以應用到具有各種特殊拓樸構造的單層石墨，以及各種晶體的三度空間結構的模型建構上，詳細的應用可以參考筆者的網頁http://thebeadedmolecules.blogspot.com/。
本文將離開分子等微觀的奈米世界，介紹串珠模型在數學玩具的一個有趣的應用，我們將使用長管串珠，製作一種稱為萬花環的數學玩具。萬花環是一種由偶數個四面體所組成的環形甜甜圈結構，其中的每一個四面體用相反位置、彼此垂直的兩個稜邊分別與前後兩個四面體相連。這種數學玩具由斯托克（R. M. Stalker）在1935年所發明1（如圖一所示），很快地就在趣味數學（recreation mathematics）的愛好者中流傳起來2,3，不少人也對萬花環做過詳細的幾何與對稱分析4,5。萬花環有趣的地方是你可以將環的內側連續不斷地扭轉到外側，讀者可以在網際網路的許多地方找到萬花環的動態模擬，例如Markus Engel的網址http://www.kaleidocycles.de/anim.shtml。注視著環的上面，四面體的四個面就不斷地會被轉到你的眼前，若面上同時繪有圖案，更讓人會有如萬花筒一般地目不暇給的感覺，因此設計師Wallace Walker將這種結構稱為萬花環，英文為Kaleidocycle，由三個希臘字源所組成：kálos [美麗的]、 eîdos [形狀]、kyklos [環]。另外W. Walker與數學家Doris Schattschneider一起著有「M.C. Escher Kaleidocycles」一書，將荷蘭藝術家埃舍爾（M.C. Escher）的圖案與萬花環結合，產生驚人的視覺效果。
通常製作萬花環的方式以稍硬紙張為主，先在一張紙上畫出如圖一中所示，由三角形組成的平面圖，繪製上自己喜愛的圖案，將其剪下，然後再以適當方式摺出六個等腰四面體，然後用膠水連結起來，便可得到一個由六個四面體所組成的萬花環。
圖一，發明家斯托克在1935年的專利「Advertising medium or toy」（US Patent 1,997,022），此萬花環含有六個等腰四面體，上三圖是從三個不同角度的透視圖，下圖是此萬花環的平面展開圖，圖中組成的三角形是等腰三角形，所做出來的四面體為等腰四面體。
一個由N個正四面體所組成的萬花環，其中的N必須是偶數，才能結成一個可平躺在平面上的環，每個四面體與相鄰的四面體共用一個稜邊，所以共有2N個頂點、5N個邊、與4N個三角形面。萬花環上的所有頂點與三角面是全等的，但是稜邊可分成兩類，連接兩四面體的邊共有N個（A類），而其它完全屬於某一個四面體的邊則有4N個（B類）。本文將專注在由正四面體所連成的萬花環，在這種情形，N必須大於或是等於6才能連成一個環。在N=8或是更大的情形，萬花環才可以連續地從裡面轉到外面，重複不斷。而在N=6的情形，正四面體只能在一定角度範圍內轉動，一直到相鄰兩個四面體相碰為止。如果將正四面體中的正三角形變成適當的等腰三角形，而且讓等腰三角形的腰底比滿足一定比值（如圖一所示的情形），也是可以讓萬花環能自由旋轉，而且相鄰的四面體在水平時，正好彼此相切。
除了紙張，我們也可以利用長管串珠，簡稱管珠，輕易地製作出由多個四面體，以稜邊相互連結而成的萬花環，這種串珠萬花環巧妙地利用四面體管珠骨架結構本身的堅硬度，與相鄰兩個四面體的兩面角可自由旋轉的特性，製作出來的串珠模型具有精巧、優美與耐用等好處。由於網路上已經有大量有關於萬花環的製作，以及這種動態幾何結構的數學分析4,5，讀者可用谷歌搜尋引擎輕易找到，所以本文將僅著重於利用長管串珠製作這種玩具的程序，省略關於這種萬花環的幾何分析與長管串珠模型結構力學的討論。
製作串珠萬花環的基本串珠技巧是「八字編」，本文作者已在2012年1月的「科學月刊」中有簡單的介紹。由於最小且能連續轉動的萬花環含有八個正四面體，所以我們將以八個正四面體所組成的萬花環為對象，有多種方法可將這八個正四面體彼此相連成一個環，我們將介紹的是一筆劃的方式，用32步驟，每個步驟製作一個三角形，每四個步驟產生一個正四面體，所以每一個三角面會被經歷一次，且僅有一次，此時漁線（尼龍線）會經歷屬於A類的稜邊四次，而經過B類的稜邊兩次。所以漁線的粗細必須適當，才能讓它穿過A類的長管串珠至少四次。太細的線，會導致所得的串珠萬花環太軟；而太粗的線，會使得我們做不下去，半途卡住。作者所採用的長管珠是三公分長的捷克生產的玻璃管珠，其孔洞可以讓0.4mm的漁線恰好通過四次，若是第一次嘗試，不妨採用0.3mm的漁線。玻璃管珠最大的缺點是不耐摔，但是只要小心操作，最後成品也相當精美結實。另外，這種玻璃長管珠並不難尋得，例如，在台北市延平北路與長安西路一帶的店家即可尋找到。
I. 正四面體串珠模型的製作（圖二）： 製作正四面體共需六個管珠，代表六個邊，按八字編製作共有四個步驟，代表四個面，每一步驟，製作一個三角面。用圖二的四面體平面圖（Schlegel圖）表示，程序如下：
1. 選取約四米長的漁線，加入三個三公分長的管珠，調整管珠位置，使其置中。交叉成環，得到第一個三角形。
2. 從漁線一端（藍色實線），加入兩個管珠。然後用漁線的另一端（紅色虛線），逆向穿過最後一個管珠（交叉成環），形成第二個三角形。
3. 先將漁線的一端（藍色實線）穿過管珠，然後再加入一個管珠，交叉成環形成第三個三角形。
4. 目前似乎正四面體已經成形，但是我們還必須完成第四個三角形，所有的管珠都已經在正四面體上，只需進行穿孔即可，讀者應該檢視應該穿過哪幾個管珠。
5. 完成後，漁線應該穿過每個管珠兩次，而且僅有兩次。
注意事項：完成一個正四面體時，應該檢視是否每個正三角形都被漁線緊密的拉在一起，如果有任何一個三角形有些鬆軟，試著調整漁線，使得整個結構被漁線緊密的拉在一起。
圖二、正四面體的Schlegel圖（左）與長管串珠正四面體（右）。圖右中的六個黑色的粗直線代表正四面體的四個邊，也是管珠所在的位置，藍色實線與紅色虛線分別代表漁線的兩端，用八字編織法所經歷的路程。
檢視正四面體的結構，讀者不難發現完成後的結構非常地堅硬，這可以從正四面體的骨架結構理解，正四面體有四個頂點與六個邊，稜邊由長管串珠所表示，頂點則是幾個長管串珠交會之處，環繞在一個頂點旁的長管是可以任意改變角度，這可以從製作過程中得知，在還沒有完成第四個三角形時，整個骨架相對柔軟，但一旦第四個三角形做出來，整個骨架就變得非常堅硬，正四面體不再有自己內部變化的自由度。十九世紀的大物理學家馬克思威爾（J. C. Maxwell）曾經研究過這種桁架（truss）問題6，並且提出了一個計數方法，可以決定這種骨架結構有多少內部自由度，也就是這種桁架結構是否堅硬，現在稱為馬克思威爾計數規則（Maxwell Counting Rule）。以正四面體為例，每一個頂點有三個移動自由度，所以四個頂點共有十二個自由度，扣除整個四面體三個移動與三個轉動自由度，剩下六個內部的自由度，但是六個稜邊代表六個限制，扣除後，正四面體的內部自由度為零，也就是說，正四面體的骨架結構是堅硬的。讀者不妨用馬克思威爾計數規則檢視其他五個正多面體的骨架結構，哪些會是硬的，而哪些會是軟的，會有內部形變的自由度。
II. 以稜邊相連的兩個正四面體的製作（圖三）：
接下來，我們需要製作第二個正四面體，且與第一個正四面體共用一個稜邊，或是一個管珠。
1. 首先製作第一個與前一個正四面體相連的三角形。先將漁線兩端在前一個正四面體的最後一個稜邊交叉，這個邊也將是第一個與第二個正四面體共用的邊，此時漁線第三次穿過這個稜邊（見圖一）。在漁線一端（藍色實線）加入兩個管珠，再用漁線的另一端（紅色虛線）逆向穿過最後加入的珠子（交叉成環），形成第二個正四面體的第一個三角形。
2. 使用圖中所示紅線虛線的一端，加入兩個管珠，再用藍色實線的一端逆向穿過最後加入的珠子（交叉成環），形成第二個正四面體的第二個三角形。
3. 將紅色虛線的一端穿過共用的管珠，然後再加入一個管珠，用漁線另一端（藍色實線）逆向穿過此管珠（交叉成環），形成第三個三角形，注意此三角形在第二個正四面體的下側，並沒有顯示在圖四中。
4. 製作第四個三角形則只需穿孔，無需加珠，讀者應該很容易發現哪幾個管珠屬於第四個三角形，要注意的是交叉成環的珠子，必須是在第一個珠子不相連的對位珠子。
注意事項：根據實作的經驗，初學者常會將第II.4步中交叉成環的交叉管珠位置，從對位（A類管珠）誤置於臨位（B類管珠），交叉成環的管珠位置會影響正四面體的走向，所以這一點非常重要。
應用上述的計數規則到圖三中的雙正四面體，六個頂點共有十八個自由度，扣除平移與旋轉的六個自由度，剩下十二個自由度，共有十一邊，所以最後還剩下一個自由度，沿著這個自由度方向進行無限小的運動，並沒有恢復力，因此通常稱此方向為零頻率模（zero-frequency mode），或是軟模（soft mode），在共稜邊的雙四面體結構情形，不難發現零頻率模這就對應到兩個四面體間的雙面角變化，因此很容易讓雙四面體沿著這個方向產生形變。
接下來，用同樣方法，沿著對位方向不斷的連結新的正四面體，一直到第七個正四面體為止，第八個是最後一個單元，必須與第一個正四面體供一個稜邊，所以需要格外的注意，才能正確連結第八與第一個正四面體。
圖三、兩個共用一個邊的正四面體與串珠模型。右邊的第二個正四面給出編織時，兩端線頭所走的路徑。
III. 最後一個正四面體（圖四）:
1. 首先在漁線一端（紅色虛線）加入兩個管珠，再用漁線另一端（藍色實線）逆向穿過最後一個管珠（交叉成環），得到第一個三角形 。
2. 然後將藍色實線一端穿過位在 線段的管珠，再加入一個管珠（線段 ），兩線頭就在最後的這個管珠交叉成環，得到三角形 。
3. 接著將藍色實線一端穿過位在 線段的管珠，再加入一個管珠（線段 ），就兩線頭就在 的這個管珠交叉成環，得到三角形 。
4. 最後，再將漁線穿過位在 與 兩線段的兩個管珠，交叉成環，便完成最後的三角形 。
圖四、第八個正四面體與相鄰的第一與第八個正四面體相關圖。圖中間部分代表第八個正四面體，第七及第一個正四面體與中間的第八個正四面體分別共用線段 與 ，也就是說這兩個共用稜邊的管珠（A類）已經做好，而位在正四面體上的其它四條稜邊 、 、 、 的管珠（B類管珠），正是在這一步要串上去的。藍色實線與紅色虛線分別代表漁線的兩端所走的路徑，圖左與圖右則分別代表前兩個與後兩個三角形的路徑。 與 彼此垂直，並無相交，所以用折線表示線段 。
兩個方式收尾：
1. 在適當的地方，將兩線頭打結，然後剪去剩餘的線頭；
2. 將剩餘的線頭，反覆地再穿入鄰近的管珠，直到最後無法再穿孔為止，然後剪去剩餘的線頭。這樣便大功告成，你就擁有你的串珠萬花環了。
讀者可試著將正四面體由內往外撥動，整個萬花環應該可以無阻礙地轉動，這個轉動方向對應到整個結構中多個零頻率模中的一個，由於結構的特殊對稱，直接用上述的規則計算萬花環零頻率模的數目，會有重複計數的問題。完整地將群論的方法有系統地處理重複計數問題，在過去十餘年才由英國劍橋大學機械系的S. Guest與Sussex大學化學系的P. W. Fowler兩位學者所完成，有興趣的讀者可以參考他們所發表的「A symmetry analysis of mechanisms in rotating rings of tetrahedra」一文4，這裡的正四面體的旋轉環（the rotating rings of tetrahedra）是萬花環的原始名稱。
圖五、串珠萬花環。含36個長度為3cm的長管玻璃珠，使用長約4公尺0.4mm的漁線。
致謝： 本文作者感謝張錦惠博士介紹這種捷克生產的玻璃管珠。本文作者在2012年八月的一次數學教育研討會中，從臺灣清華大學數學系全仁重的講演中，得知這種有趣的數學結構，在此致謝。
1. Stalker, R. M. 1933 Advertising medium or toy. US Patent 1,997,022, filed 27 April 1933 and issued 9 April 1935.
2. Ball, W. W. Rouse 1939 Mathematical recreations and essays, 11th edn. London: Macmillan. Revised and extended by Coxeter, H. S. M.
3. Cundy, H. M.; Rollett, A. R. 1981 Mathematical models, 3rd edn. Diss: Tarquin Publications.
4. Fowler, P. W.; Guest, S. Proc. R. Soc. A 461(2058), 1829-1846, 2005.
5. 全仁重, http://sylvester.math.nthu.edu.tw/d2/ATCM%202012/Maximal%20Twistable%20Tetrahedral%20Torus/
6. Maxwell, J.C. Philosophical Magazine 27, 294-299, 1864.
珠璣科學之串珠萬花環
臺灣大學化學系 金必耀
國家高速網路與計算中心 左家靜
串珠是一種傳統藝術與工藝的形式，其基本步驟是將尼龍線反覆地穿過含有孔洞的珠子，常用來製作各種珠寶、裝飾品、吊飾品、雕塑等二維或是三維結構。在2012年，本文作者曾在「科學月刊」寫過「珠璣科學」系列文章，簡介有關串珠在分子模型的製作與應用，我們談到正多面體、碳六十、碳七十、碳八十等芙類分子的串珠模型，並且用烷類分子來解釋串珠模型與化學鍵價球模型的關連。當然，除了芙類分子與簡單的烷類分子之外，串珠還可以應用到具有各種特殊拓樸構造的單層石墨，以及各種晶體的三度空間結構的模型建構上，詳細的應用可以參考筆者的網頁http://thebeadedmolecules.blogspot.com/。
本文將離開分子等微觀的奈米世界，介紹串珠模型在數學玩具的一個有趣的應用，我們將使用長管串珠，製作一種稱為萬花環的數學玩具。萬花環是一種由偶數個四面體所組成的環形甜甜圈結構，其中的每一個四面體用相反位置、彼此垂直的兩個稜邊分別與前後兩個四面體相連。這種數學玩具由斯托克（R. M. Stalker）在1935年所發明1（如圖一所示），很快地就在趣味數學（recreation mathematics）的愛好者中流傳起來2,3，不少人也對萬花環做過詳細的幾何與對稱分析4,5。萬花環有趣的地方是你可以將環的內側連續不斷地扭轉到外側，讀者可以在網際網路的許多地方找到萬花環的動態模擬，例如Markus Engel的網址http://www.kaleidocycles.de/anim.shtml。注視著環的上面，四面體的四個面就不斷地會被轉到你的眼前，若面上同時繪有圖案，更讓人會有如萬花筒一般地目不暇給的感覺，因此設計師Wallace Walker將這種結構稱為萬花環，英文為Kaleidocycle，由三個希臘字源所組成：kálos [美麗的]、 eîdos [形狀]、kyklos [環]。另外W. Walker與數學家Doris Schattschneider一起著有「M.C. Escher Kaleidocycles」一書，將荷蘭藝術家埃舍爾（M.C. Escher）的圖案與萬花環結合，產生驚人的視覺效果。
通常製作萬花環的方式以稍硬紙張為主，先在一張紙上畫出如圖一中所示，由三角形組成的平面圖，繪製上自己喜愛的圖案，將其剪下，然後再以適當方式摺出六個等腰四面體，然後用膠水連結起來，便可得到一個由六個四面體所組成的萬花環。
圖一，發明家斯托克在1935年的專利「Advertising medium or toy」（US Patent 1,997,022），此萬花環含有六個等腰四面體，上三圖是從三個不同角度的透視圖，下圖是此萬花環的平面展開圖，圖中組成的三角形是等腰三角形，所做出來的四面體為等腰四面體。
一個由N個正四面體所組成的萬花環，其中的N必須是偶數，才能結成一個可平躺在平面上的環，每個四面體與相鄰的四面體共用一個稜邊，所以共有2N個頂點、5N個邊、與4N個三角形面。萬花環上的所有頂點與三角面是全等的，但是稜邊可分成兩類，連接兩四面體的邊共有N個（A類），而其它完全屬於某一個四面體的邊則有4N個（B類）。本文將專注在由正四面體所連成的萬花環，在這種情形，N必須大於或是等於6才能連成一個環。在N=8或是更大的情形，萬花環才可以連續地從裡面轉到外面，重複不斷。而在N=6的情形，正四面體只能在一定角度範圍內轉動，一直到相鄰兩個四面體相碰為止。如果將正四面體中的正三角形變成適當的等腰三角形，而且讓等腰三角形的腰底比滿足一定比值（如圖一所示的情形），也是可以讓萬花環能自由旋轉，而且相鄰的四面體在水平時，正好彼此相切。
除了紙張，我們也可以利用長管串珠，簡稱管珠，輕易地製作出由多個四面體，以稜邊相互連結而成的萬花環，這種串珠萬花環巧妙地利用四面體管珠骨架結構本身的堅硬度，與相鄰兩個四面體的兩面角可自由旋轉的特性，製作出來的串珠模型具有精巧、優美與耐用等好處。由於網路上已經有大量有關於萬花環的製作，以及這種動態幾何結構的數學分析4,5，讀者可用谷歌搜尋引擎輕易找到，所以本文將僅著重於利用長管串珠製作這種玩具的程序，省略關於這種萬花環的幾何分析與長管串珠模型結構力學的討論。
製作串珠萬花環的基本串珠技巧是「八字編」，本文作者已在2012年1月的「科學月刊」中有簡單的介紹。由於最小且能連續轉動的萬花環含有八個正四面體，所以我們將以八個正四面體所組成的萬花環為對象，有多種方法可將這八個正四面體彼此相連成一個環，我們將介紹的是一筆劃的方式，用32步驟，每個步驟製作一個三角形，每四個步驟產生一個正四面體，所以每一個三角面會被經歷一次，且僅有一次，此時漁線（尼龍線）會經歷屬於A類的稜邊四次，而經過B類的稜邊兩次。所以漁線的粗細必須適當，才能讓它穿過A類的長管串珠至少四次。太細的線，會導致所得的串珠萬花環太軟；而太粗的線，會使得我們做不下去，半途卡住。作者所採用的長管珠是三公分長的捷克生產的玻璃管珠，其孔洞可以讓0.4mm的漁線恰好通過四次，若是第一次嘗試，不妨採用0.3mm的漁線。玻璃管珠最大的缺點是不耐摔，但是只要小心操作，最後成品也相當精美結實。另外，這種玻璃長管珠並不難尋得，例如，在台北市延平北路與長安西路一帶的店家即可尋找到。
I. 正四面體串珠模型的製作（圖二）： 製作正四面體共需六個管珠，代表六個邊，按八字編製作共有四個步驟，代表四個面，每一步驟，製作一個三角面。用圖二的四面體平面圖（Schlegel圖）表示，程序如下：
1. 選取約四米長的漁線，加入三個三公分長的管珠，調整管珠位置，使其置中。交叉成環，得到第一個三角形。
2. 從漁線一端（藍色實線），加入兩個管珠。然後用漁線的另一端（紅色虛線），逆向穿過最後一個管珠（交叉成環），形成第二個三角形。
3. 先將漁線的一端（藍色實線）穿過管珠，然後再加入一個管珠，交叉成環形成第三個三角形。
4. 目前似乎正四面體已經成形，但是我們還必須完成第四個三角形，所有的管珠都已經在正四面體上，只需進行穿孔即可，讀者應該檢視應該穿過哪幾個管珠。
5. 完成後，漁線應該穿過每個管珠兩次，而且僅有兩次。
注意事項：完成一個正四面體時，應該檢視是否每個正三角形都被漁線緊密的拉在一起，如果有任何一個三角形有些鬆軟，試著調整漁線，使得整個結構被漁線緊密的拉在一起。
圖二、正四面體的Schlegel圖（左）與長管串珠正四面體（右）。圖右中的六個黑色的粗直線代表正四面體的四個邊，也是管珠所在的位置，藍色實線與紅色虛線分別代表漁線的兩端，用八字編織法所經歷的路程。
檢視正四面體的結構，讀者不難發現完成後的結構非常地堅硬，這可以從正四面體的骨架結構理解，正四面體有四個頂點與六個邊，稜邊由長管串珠所表示，頂點則是幾個長管串珠交會之處，環繞在一個頂點旁的長管是可以任意改變角度，這可以從製作過程中得知，在還沒有完成第四個三角形時，整個骨架相對柔軟，但一旦第四個三角形做出來，整個骨架就變得非常堅硬，正四面體不再有自己內部變化的自由度。十九世紀的大物理學家馬克思威爾（J. C. Maxwell）曾經研究過這種桁架（truss）問題6，並且提出了一個計數方法，可以決定這種骨架結構有多少內部自由度，也就是這種桁架結構是否堅硬，現在稱為馬克思威爾計數規則（Maxwell Counting Rule）。以正四面體為例，每一個頂點有三個移動自由度，所以四個頂點共有十二個自由度，扣除整個四面體三個移動與三個轉動自由度，剩下六個內部的自由度，但是六個稜邊代表六個限制，扣除後，正四面體的內部自由度為零，也就是說，正四面體的骨架結構是堅硬的。讀者不妨用馬克思威爾計數規則檢視其他五個正多面體的骨架結構，哪些會是硬的，而哪些會是軟的，會有內部形變的自由度。
II. 以稜邊相連的兩個正四面體的製作（圖三）：
接下來，我們需要製作第二個正四面體，且與第一個正四面體共用一個稜邊，或是一個管珠。
1. 首先製作第一個與前一個正四面體相連的三角形。先將漁線兩端在前一個正四面體的最後一個稜邊交叉，這個邊也將是第一個與第二個正四面體共用的邊，此時漁線第三次穿過這個稜邊（見圖一）。在漁線一端（藍色實線）加入兩個管珠，再用漁線的另一端（紅色虛線）逆向穿過最後加入的珠子（交叉成環），形成第二個正四面體的第一個三角形。
2. 使用圖中所示紅線虛線的一端，加入兩個管珠，再用藍色實線的一端逆向穿過最後加入的珠子（交叉成環），形成第二個正四面體的第二個三角形。
3. 將紅色虛線的一端穿過共用的管珠，然後再加入一個管珠，用漁線另一端（藍色實線）逆向穿過此管珠（交叉成環），形成第三個三角形，注意此三角形在第二個正四面體的下側，並沒有顯示在圖四中。
4. 製作第四個三角形則只需穿孔，無需加珠，讀者應該很容易發現哪幾個管珠屬於第四個三角形，要注意的是交叉成環的珠子，必須是在第一個珠子不相連的對位珠子。
注意事項：根據實作的經驗，初學者常會將第II.4步中交叉成環的交叉管珠位置，從對位（A類管珠）誤置於臨位（B類管珠），交叉成環的管珠位置會影響正四面體的走向，所以這一點非常重要。
應用上述的計數規則到圖三中的雙正四面體，六個頂點共有十八個自由度，扣除平移與旋轉的六個自由度，剩下十二個自由度，共有十一邊，所以最後還剩下一個自由度，沿著這個自由度方向進行無限小的運動，並沒有恢復力，因此通常稱此方向為零頻率模（zero-frequency mode），或是軟模（soft mode），在共稜邊的雙四面體結構情形，不難發現零頻率模這就對應到兩個四面體間的雙面角變化，因此很容易讓雙四面體沿著這個方向產生形變。
接下來，用同樣方法，沿著對位方向不斷的連結新的正四面體，一直到第七個正四面體為止，第八個是最後一個單元，必須與第一個正四面體供一個稜邊，所以需要格外的注意，才能正確連結第八與第一個正四面體。
III. 最後一個正四面體（圖四）:
1. 首先在漁線一端（紅色虛線）加入兩個管珠，再用漁線另一端（藍色實線）逆向穿過最後一個管珠（交叉成環），得到第一個三角形 。
2. 然後將藍色實線一端穿過位在 線段的管珠，再加入一個管珠（線段 ），兩線頭就在最後的這個管珠交叉成環，得到三角形 。
3. 接著將藍色實線一端穿過位在 線段的管珠，再加入一個管珠（線段 ），就兩線頭就在 的這個管珠交叉成環，得到三角形 。
4. 最後，再將漁線穿過位在 與 兩線段的兩個管珠，交叉成環，便完成最後的三角形 。
圖四、第八個正四面體與相鄰的第一與第八個正四面體相關圖。圖中間部分代表第八個正四面體，第七及第一個正四面體與中間的第八個正四面體分別共用線段 與 ，也就是說這兩個共用稜邊的管珠（A類）已經做好，而位在正四面體上的其它四條稜邊 、 、 、 的管珠（B類管珠），正是在這一步要串上去的。藍色實線與紅色虛線分別代表漁線的兩端所走的路徑，圖左與圖右則分別代表前兩個與後兩個三角形的路徑。 與 彼此垂直，並無相交，所以用折線表示線段 。
兩個方式收尾：
1. 在適當的地方，將兩線頭打結，然後剪去剩餘的線頭；
2. 將剩餘的線頭，反覆地再穿入鄰近的管珠，直到最後無法再穿孔為止，然後剪去剩餘的線頭。這樣便大功告成，你就擁有你的串珠萬花環了。
讀者可試著將正四面體由內往外撥動，整個萬花環應該可以無阻礙地轉動，這個轉動方向對應到整個結構中多個零頻率模中的一個，由於結構的特殊對稱，直接用上述的規則計算萬花環零頻率模的數目，會有重複計數的問題。完整地將群論的方法有系統地處理重複計數問題，在過去十餘年才由英國劍橋大學機械系的S. Guest與Sussex大學化學系的P. W. Fowler兩位學者所完成，有興趣的讀者可以參考他們所發表的「A symmetry analysis of mechanisms in rotating rings of tetrahedra」一文4，這裡的正四面體的旋轉環（the rotating rings of tetrahedra）是萬花環的原始名稱。
圖五、串珠萬花環。含36個長度為3cm的長管玻璃珠，使用長約4公尺0.4mm的漁線。
致謝： 本文作者感謝張錦惠博士介紹這種捷克生產的玻璃管珠。本文作者在2012年八月的一次數學教育研討會中，從臺灣清華大學數學系全仁重的講演中，得知這種有趣的數學結構，在此致謝。
1. Stalker, R. M. 1933 Advertising medium or toy. US Patent 1,997,022, filed 27 April 1933 and issued 9 April 1935.
2. Ball, W. W. Rouse 1939 Mathematical recreations and essays, 11th edn. London: Macmillan. Revised and extended by Coxeter, H. S. M.
3. Cundy, H. M.; Rollett, A. R. 1981 Mathematical models, 3rd edn. Diss: Tarquin Publications.
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5. 全仁重, http://sylvester.math.nthu.edu.tw/d2/ATCM%202012/Maximal%20Twistable%20Tetrahedral%20Torus/
6. Maxwell, J.C. Philosophical Magazine 27, 294-299, 1864.
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